ЛЯПУНОВА МЕТОДЫ

— методы, позволяющие качественно исследовать некоторые важные свойства (напр., устойчивость, диссипативность) решений обыкновенных дифференциальных уравнений, не отыскивая сами решения. Разработал их в 1892 рус. математик А. М. Ляпунов. Они составляют основу теории устойчивости решений обыкновенных дифф. уравнений. Проблема устойчивости впервые возникла из практических задач небесной механики, однако впоследствии было обнаружено, что она возникает во всех научных задачах, связанных с изучением движения любых материальных систем, описываемых обыкновенными дифф. уравнениями. Исследования этой проблемы до А. М. Ляпунова относились к частным случаям движения и не всегда обладали достаточной матем. строгостью. Строгие определения устойчивости, общая постановка задачи, а также корректные методы ее решения (т. н. 1-й и 2-й Л. м.) впервые предложены в диссертации А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения».

Рассмотрим систему дифф. уравнений, описывающую движение некоторой динамической системы:

где матрицы некоторые функции независимой переменной t (обычно — времени) и вектора фазовых координат системы у, удовлетворяющие условиям существования и единственности решений системы (1). Предположим, что необходимо изучить некоторое частное, т. н. невозмущенное, движение исследуемой динамической системы, которому соответствует частное решение системы дифф. уравнений (1). Все прочие движения системы, которым соответствуют любые решения возмущенными движениями, а разности возмущениями. Подставив в уравнение предполагается известной функцией , получим т. н. уравнение возмущенного движения

где

Определение 1. Невозмущенное движение наз. устойчивым (по Ляпунову), если для всякого положительного числа найдется положительное число 6, такое, что для всех возмущений для всех возмущенных движений), для которых в начальный момент выполняется неравенство при всех будет выполняться неравенство

где норма вектора.

Определение 2. Если невозмущенное движение устойчиво (в смысле определения 1) и при некотором для всех возмущений, удовлетворяющих неравенству существует предел то невозмущенное движение наз. асимптотически устойчивым (по Ляпунову).

Определения 1 и 2, введенные А. М. Ляпуновым, устанавливают связь между понятием устойчивости и характером изменения во времени (часто говорят — ростом) нормы решения уравнения (2). Идея заключается в том, что рост оценивается по шкале ростов, заданной некоторым упорядоченным семейством известных ф-ций t. А. М. Ляпунов использовал ф-ции для которых показателем роста служит параметр (вещественное число) X. В соответствии с такой шкалой показатель роста решений определяется по формуле

где символ означает верхний предел ф-ции . В современной литературе число характеристическим показателем (показателем Ляпунова) решения х (t) (сам А. М. Ляпунов пользовался числом и называл его характеристичным числом). Характеристический показатель X представляет собой функционал, определенный на множестве ф-ций , заданных на полуоси Очевидно, что если , то , а если , то при Вообще, чем больше показатель X, тем «быстрее» растет ф-ция . А. М. Ляпунов доказал ряд теорем о характеристических показателях решений уравнения (2) и о влиянии на показатели различных преобразований, производимых над этим уравнением. 1-й Л. м. позволяет решить задачу об устойчивости, если по виду правой части уравнения (2) удается вычислить характеристические показатели его решений или, по крайней мере, найти некоторые их оценки. Наиболее исследованы этим методом линейные системы

где зависящая от t. Важные результаты получены для линейных периодических систем вида (4), у которых а также для ряда других частных случаев. Развивая 1-й Л. более поздние исследователи использовали в качестве шкалы ростов двупараметрическое семейство функций, напр. Идеи получили применение и глубокое развитие в трудах многих отечественных и зарубежных ученых.

Идея 2-го (т. н. прямого) Л. м. восходит к известной теореме Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной механической системы (1788), в которой утверждалось, что состояние равновесия устойчиво, если в нем достигается минимум потенциальной энергии системы. Строгое доказательство этой теоремы позднее предложил Л. Дирихле. Теорема Лагранжа — Дирихле относится к частному случаю движения, а ее практическое использование затруднено необходимостью отыскивать потенциальную энергию системы, что далеко не всегда удается сделать. представляет собой далеко идущее обобщение идеи Лагранжа. Для исследования устойчивости движения системы (1) А. М. Ляпунов предложил использовать спец. знакоопределенные пробные ф-ции (т. н. функция Ляпунова, отдаленный аналог энергетической функции Лагранжа). Факт устойчивости или неустойчивости был связан с наличием такой функции производная которой, взятая согласно уравнениям возмущенного движения, обладает спец. свойствами. Так, напр., невозмущенное движение системы (1) устойчиво, если производная функции Ляпунова, взятая вдоль фазовых траекторий системы (2), знакопостоянна и обладает противоположным по отношению к знаком. А. М. Ляпунов доказал ряд теорем о ф-циях составивших основу его 2-го метода, и с их помощью получил некоторые конкретные результаты. Одним из наиболее известных результатов такого рода явилось строгое обоснование метода исследования устойчивости по уравнениям 1-го приближения (метод линеаризации). Этим методом без достаточного обоснования пользовались ранее многие исследователи, однако А. М. Ляпунов доказал, что в ряде случаев такой метод приводит к ошибочным результатам, и сформулировал строгие условия, при которых им можно пользоваться.

Идея оказалась чрезвычайно эффективной и плодотворной. Применением и дальнейшим развитием этого метода занимались многие ученые. На основе 2-го Л. м. были решены задачи об устойчивости в целом (т. е. при любых возмущениях ) и в области, об абсолютной устойчивости, о диссипативности (предельной ограниченности решений) об устойчивости на конечном интервале времени и при постоянно действующих возмущениях, об устойчивости дискретных, стохастических систем, систем с запаздыванием и с распределенными параметрами, систем, заданных дифф. уравнениями в банаховом пространстве, и много других задач. Кроме классической проблемы об устойчивости движения, 2-й Л. м. находит применение и в ряде других задач, напр., в задаче о синтезе оптим. систем автомат, управления. Л. м. являются теор. основой решения многих прикладных задач, в том числе задач теории автомат, управления (техн. кибернетики). См. также Устойчивости дискретных систем теория, Устойчивости непрерывных систем теория.

Лит.: Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.- Л., 1950; Былов Б. Ф. [и др. ]. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М., 1966 [библиогр. с. 558-565 ]; Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966; Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967 [библиогр. с. 466—469]; Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 160—161]. Ю. Н. Чеховой.