3. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Пусть форма в базисе определяется матрицей :

и пусть — угловые миноры и определитель матрицы . Справедливо следующее утверждение:

Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем

Доказательство. 1) Необходимость. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы следует

Убедимся, что предположение ведет к противоречию — при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого , что противоречит знакоопределенности формы.

Итак, пусть . Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений:

Так как определитель этой системы и то система (7.36) имеет ненулевое решение (не все равны нулю). Умножим первое из уравнений (7.36) на второе на последнее на и сложим полученные соотношения. В результате получим равенство левая часть которого представляет собой значение квадратичной формы для ненулевого вектора х с координатами . Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы.

Итак, мы убедились, что . Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы к сумме квадратов (см. теорему 7 4) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов . Если — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда из соотношений (7.27) следует, что . Если же — отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны. Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем

2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры в формулировке теоремы. Так как то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см. теорему 7.4), причем канонические коэффициенты могут быть найдены по формулам (7.27). Если то из соотношений (7.27) следует, что все т. е. форма положительно определенная. Если же знаки чередуются и то из соотношений (7.27) следует, что форма отрицательно определенная. Теорема доказана.