§ 72. Общее решение волнового уравнения

Выведем теперь общую формулу, определяющую решение волнового уравнения в неограниченной жидкости по заданным начальным условиям, т. е. определяющую распределение скоростей и давления в жидкости в произвольный момент времени по их распределению в начальный момент.

Предварительно получим некоторые вспомогательные формулы. Пусть будут — два каких-либо решения волнового уравнения, обращающиеся на бесконечности в нуль. Рассмотрим интеграл

взятый по всему пространству, и вычислим его производную по времени. Помня, что удовлетворяют уравнениям

имеем:

Последний интеграл может быть преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности и потому обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к результату, что есть не зависящая от времени постоянная:

(72,1)

Рассмотрим, далее, частное решение волнового уравнения:

где — расстояние от некоторой заданной точки О пространства, — некоторый определенный момент времени, а обозначает -функцию. Вычислим интеграл от по пространству. Имеем:

Аргумент у -функции обращается в нуль при (предполагается, что Поэтому в силу свойств -функции имеем:

Дифференцируя это равенство по t, получаем:

Подставим теперь в интеграл (72,1) в качестве функцию (72,2), а под будем понимать искомое общее решение волнового уравнения. Согласно (72,1) I есть величина постоянная; на этом основании напишем выражения для в моменты времени и приравняем их друг другу. При обе функции отличны от нуля только при . Поэтому при интегрировании можно положить в равным нулю (т. е. взять значения в точке О) и вынести из-под знака интеграла:

( — координаты точки О). Согласно (72,3) и (72,4) второй член здесь обращается при в нуль, а первый дает

Вычислим теперь при Написав и обозначая посредством значение функции при имеем:

Элемент объема пишем в виде , где — элемент телесного угла, и в силу свойств -функции получаем:

и аналогично для интеграла от Таким образом,

Наконец, приравнивая оба выражения для I и опуская индекс нуль у получаем окончательно:

Эта формула Пуассона определяет распределение потенциала в пространстве в любой момент времени, если задано распределение потенциала и его производной по времени (что эквивалентно заданию распределения скорости и давления) в некоторый начальный момент времени. Мы видим, что значение потенциала в момент времени t определяется значениями которые они имели в момент времени на поверхности сферы с радиусом и центром в точке О.

Рис. 44

Предположим, что в начальный момент времени были отличны от нуля только в некоторой конечной области пространства, ограниченной замкнутой поверхностью С (рис. 44). Рассмотрим значения, которые будет принимать в последующие моменты в некоторой точке О. Эти значения определяются значениями на расстоянии от точки О. Но сферы радиусов проходят через область внутри поверхности только при где d и D — наименьшее и наибольшее расстояния от точки О до поверхности С. В другие моменты времени подынтегральные выражения в (72,5) обратятся в нуль. Таким образом, движение в точке О начнется в момент и закончится в момент Распространяющаяся из области С волна имеет два фронта: передний и задний. Движение в жидкости начинается, когда к данной ее точке подходит поверхность переднего фронта, на заднем же фронте колебавшиеся ранее точки приходят в состояние покоя.

Задача

Вывести формулу, определяющую потенциал по начальным условиям для волны, зависящей только от двух координат: х и у.

Решение. Элемент поверхности сферы радиуса можно, с одной стороны, написать в виде где — элемент телесного угла. С другой стороны, проекция на плоскость равна

где есть расстояние от центра шара до точки у. Сравнив оба выражения, можно написать

Обозначая координаты точки наблюдения посредством у, а координаты переменной точки в области интегрирования посредством мы можем, следовательно, в рассматриваемом случае заменить в общей формуле (72,5) на

удвоив при этом получающееся выражение, поскольку представляет собой проекцию двух элементов поверхности сферы, находящихся по разные стороны от плоскости х, у. Таким образом, окончательно получаем:

где интегрирование производится по поверхности круга с центром в точке О и радиусом Если в начальный момент отличны от нуля только в конечной области С плоскости х, у (точнее — в некоторой цилиндрической области пространства с образующими, параллельными оси ), то колебания в точке О (рис. 44) начнутся в момент времени , где d — ближайшее расстояние от О до этой области. Но в дальнейшем круги радиуса с центром в точке О всегда будут заключать в себе часть или всю площадь области С, и будет стремиться к нулю только асимптотически. Таким образом, в отличие от «трехмерных» волн рассмотренные здесь двухмерные волны имеют передний, но не имеют заднего фронта § 71).