§ 2. Правила Фейнмана для поля Янга — Миллса

Можно ли применить метод фейнмановской теории возмущений к лагранжиану Янга — Миллса (4.5) и (4.9)? Если да, то каковы правила Фейнмана? Проблема здесь заключается в том, что, как и электромагнитный потенциал поле преобразуется неоднородно и, следовательно, неоднозначно определяется уравнениями поля. Чтобы выполнить квантование, необходимо «фиксировать калибровку», т. е., так сказать, нарушить калибровочную инвариантность. Для этого можно было бы, например, по аналогии с формулой (3.22) добавить к плотности лагранжиана член

Но в этом случае в противоположность электродинамике оказывается, что добавление члена (4.10) само по себе некорректно.

То, что пользоваться правилами Фейнмана, вытекающими из выражений (4.9) и (4.10), записанных именно в таком виде, было бы ошибкой, можно показать на одном простом примере. Так же как для фотонов, пропагатор задается выражением (3.24) (с дополнительным множителем где изотопические индексы). Обратимся к диаграмме фиг. 3, для которой мы проверили унитарность в случае электродинамики. Пусть, однако, теперь волнистые линии соответствуют квантам Янга — Миллса, а прямая — изоспинору. Если мы попытаемся обобщить сказанное в гл. 3, § 2, то натолкнемся по аналогии с формулой (3.13) на коммутатор

причем в данной главе — изотопический ток, соответствующий лагранжиану (4.9). Этот коммутатор не равен нулю. В самом деле, изоспиновые операторы

удовлетворяют коммутационным соотношениям

Фиг. 4. Вершинная диаграмма с тремя линиями -частиц.

Таким образом, в этом важнейшем пункте цепь рассуждений разрывается и правила Фейнмана, извлеченные из формул (4.9) и (4.10), несовместимы с требованием унитарности.

Оказывается, что эти простые правила Фейнмана можно подправить, добавив специальные компенсирующие диаграммы. Мы отложим этот вопрос технического характера до гл. 11. Лагранжиан, определяемый выражениями (4.5), (4.9) и (4.10), производит впечатление перенормируемого. Он не содержит размерных констант связи, а пропагатор (3.24) не имеет члена типа В гл. 11 мы увидим, что это впечатление необманчиво: дополнительные компенсирующие диаграммы не нарушают перенормируемости.

Хотя мы еще не имеем полных правил Фейнмана, мы можем вывести некоторые правила из выражений (4.5) и (4.9). Например, из формулы (4.9) следует, что вершина с тремя линиями, определенная на фиг. 4, дает вклад

(импульсы направлены к вершине).

Посмотрим, как можно интерпретировать выражение (4.14) с точки зрения взаимодействия между заряженной частицей со спином 1 и фотоном. Временно предположим существование массы первой из указанных частиц, что, конечно, в действительности не содержится в данной нами формулировке теории. Выберем в качестве фотонное поле, а заряженные поля определим соотношением

Тогда множитель дает, в частности,

Для удобства перейдем к лоренцевой системе отсчета, в которой (при

а векторы поляризации заряженных частиц имеют вид

где, как и требуется, . Тогда, свертывая вы ражение (4.14) с приходим к результатам

и

Выражение (4.17) дает нам электрический заряд и электрический квадрупольный момент, равный по величине а выражение (4.18) — магнитный момент, равный Данные конкретные значения определяются симметрией выражения (4.14), а также тем, что оно не содержит степени импульсов выше первой.