§ 2. Перенормировка калибровочных теорий

Проблема перенормировки калибровочных теорий рассматривалась в работах [123, 127, 131, 132, 195, 196, 209]. В данном параграфе мы будем следовать работе Зинн-Жюстена [209], поскольку проведенное в ней преобразование обобщенных тождеств Уорда — Такахаши с помощью процедуры Бекки, Руэ и Стора [29] (гл. 12, § 3 и гл. 12, § 4) значительно облегчает задачу.

При конечных значениях параметра калибровки в формулах (6.17) и (6.19) калибровочные теории, рассмотренные в предыдущих главах, удовлетворяют критериям перенормируемости: константы связи безразмерны или имеют размерность , а пропагатор (6.19) при больших обладает требуемым поведением. Таким образом, результаты, приведенные без доказательств в § 1, применимы.

Чтобы иметь основания для проведения перенормировки в случае калибровочных теорий, остается проверить одно важное положение. Именно, действие в формуле (14.2) можно выбрать так, что каждая из величин и будет инвариантна относительно локальных преобразований группы Закон преобразований для той и другой может быть своим, но каждый из них должен соответствовать некоторому представлению группы Это условие накладывает строгие ограничения на независимые параметры в Поэтому приходится доказывать, что ограниченное таким образом множество контрчленов является достаточным для компенсации всех расходящихся интегралов.

Почему необходимо данное условие? «Затравочное» действие это полное действие, и, следовательно, оно калибровочно-инвариантно по определению. В выражении (14.2) мы имеем всего лишь разбиение на две части. Почему одна его часть должна быть калибровочно-инварианта сама по себе? Дело в том, что мы не просто накладываем требование калибровочной инвариантности вообще, а требуем выполнения ее в каждом порядке теории возмущений. Перенормировка — это по существу перестройка теории возмущений, и мы требуем, чтобы калибровочная инвариантность имела место в каждом порядке разложения по степеням В качестве примера рассмотрим перенормированное разложение в приближении древовидных диаграмм. В этом случае калибровочная инвариантность служит гарантией того, что в полюсе два пропагатора (6.19) и (6.20) представляют совместно физическую частицу со спином 1.

Теперь приступим к доказательству по индукции только что сформулированного положения: если действие

инвариантно относительно локальных преобразований некоторой группы то для любого порядка свойством инвариантности обладает также Как было показано в гл. 12, § 3, инвариантность действия 5 приводит к обобщенным тождествам Уорда — Такахаши (12.27) и (12.28). Мы сначала докажем, что если инвариант, то удовлетворяет этим тождествам. В следующем параграфе мы объясним, каким образом тождества влекут за собой инвариантность действия

Мы будем рассматривать первое тождество (12.27), поскольку тождество (12.28) линейно, а следовательно, и проще. Запишем уравнение (12.27) в символической форме

Чтобы идти дальше, нам нужно доказать, что величину можно определить так, что равенство

будет точно выполняться в любом порядке Для этого потребуется изменить итерационное определение (14.6) за счет членов такое изменение никак не повлияет на сокращение расходимостей или конечное значение

Чтобы провести доказательство по индукции, мы предположим справедливость тождества (14.10), которое, согласно сказанному в гл. 12, § 3, означает, что

Выделив расходящиеся члены порядка мы получим

Нам нужно показать, что выражение (14.11) позволяет нам определить действие

удовлетворяющее тождеству.

точно [ясно, что в пренебрежении членами оно выполняется]. Мы укажем, как можно осуществить данное построение в случае одного поля Янга — Миллса (общий случай рассмотрен в работах [56, 123]).

Прежде всего заметим, что уравнение (14.11) имеет общее решение в виде

где классическое действие Янга — Миллса [интеграл от лагранжиана (4.9) без шпурионных полей и членов с источниками], а

причем величины это расходящиеся константы. Как нетрудно убедиться, выражение (14.13) удовлетворяет уравнению (14.11). То, что это — действительно общее решение, можно установить, перебрав все возможные (с точки зрения размерности) члены, как это делается в § 3. Таким образом, взяв за основу решение (14.13), мы представим в виде

где

С точностью до членов данное построение воспроизводит представление (14.6). Оно явным образом калибровочно-инвариантно (поскольку изменение масштаба полей не влияет на это) и, следовательно, удовлетворяет тождеству (14.12), что и требовалось доказать. Для сравнения с обозначениями § 4 заметим, что