§ 4. Инфракрасные расходимости

Поле Янга-Миллса не может иметь прямого физического приложения, поскольку калибровочная инвариантность требует, чтобы ни одно из полей не имело массового члена, а в природе известна лишь единственная безмассовая частица со спином 1 — фотон. Более того, не совсем ясно, возможна ли вообще прямая интерпретация теории Янга — Миллса. Препятствием оказываются инфракрасные расходимости.

В квантовой электродинамике, в силу отсутствия массы у фотона, некоторые интегралы расходятся при малых значениях импульсов (см., например, работу [115], § 16.1). Это легко понять, если вспомнить, что вероятность испускания заряженной частицы самой такой частицей равна нулю.

Испущенная частица всегда сопровождается неопределенно большим числом мягких фотонов. Это не так сложно, как кажется на первый взгляд, ибо когерентные состояния мягких фотонов, рассматриваемые классически, учитываются в хорошем приближении.

Проблема теории Янга — Миллса в лучшем случае гораздо сложнее, поскольку любая мягкая частица Янга — Миллса сама может испускать другие, так что при этом вовлекается весь набор древовидных диаграмм мягких частиц. Мне неизвестно какое-либо детальное исследование этой проблемы. Вейнберг [201] утверждает, что в данном пункте мы сталкиваемся с существенной трудностью. В то же время у Ли и Науенберга [135] имеется общий метод (включающий усреднение по конечным и начальным состояниям) получения конечных ответов в случаях такого типа.

Относительно самого по себе поля Янга — Миллса, не взаимодействующего с какими-либо массивными частицами, можно отметить еще и следующее. Если в отсутствие массы, устанавливающей некий масштаб, попытаться, пользуясь ренормализационной группой (гл. 18, § 5), определить, как ведет себя эффективная константа связи при низких энергиях, то таким методом не удается показать, что константа связи стремится к нулю (как, например, в квантовой электродинамике безмассовых электронов). Строго говоря, это ничего не доказывает, но на теорию все же ложится еще одна тень сомнения.

Поэтому возможно, что в целом теория Янга — Миллса не является самосогласованной; или же все сказанное означает лишь, что спектр физических состояний нельзя вывести из свободной (т. е. квадратичной) части лагранжиана. Данный вопрос не имеет отношения к большинству последующих глав, поскольку в них мы будем иметь дело с модификациями теории Янга — Миллса. Кратко мы вернемся к нему в гл. 18, § 5.