§ 3. Калибровочная инвариантность «голого», или «затравочного», лагранжиана

В предыдущем параграфе мы доказали, исходя из действия для калибровочной теории, что «затравочное» действие удовлетворяет обобщенным тождествам Уорда — Такахаши (12.27) и (12.28) в любом порядке Опустив индекс (или положив мы введем [в обозначениях формулы (11.39)] по аналогии с функционалом (12.23) величину такую, что

Тогда тождества примут вид

Данные уравнения означают, что есть полное действие калибровочной теории. Именно доказательство этого утверждения (т. е. утверждения, обратного доказанному в гл. 12, § 3) будет нашей следующей задачей.

Кроме двух последних уравнений мы воспользуемся еще одним обстоятельством. Действие инвариантно относительно локальных преобразований группы поэтому, если бы не существовало спонтанного нарушения симметрии, оно также было бы инвариантно и относительно глобальных преобразований группы Это означает, что если провести разбиение подобное (14.7), то часть будет инвариантом локальных преобразований группы поскольку не изменяется при спонтанном нарушении симметрии (которое приводит к членам, содержащим размерный параметр — вакуумное среднее оператора Таким образом, в соответствии со свойством доказанным в конце § 1, член также инвариантен относительно глобальных преобразований группы

Вооружившись этим, а также тождествами (14.15) и (14.16), мы рассмотрим сначала часть, зависящую от потом — зависящую от и, и, наконец, остаток действия Мы перестроим таким образом, чтобы оно обладало той же калибровочной инвариантностью, что и

Из соображений размерности часть содержащая не может содержать какие-либо производные или другие поля, кроме поля и (которое является безразмерным). Поскольку шпурионные линии никогда не имеют конца (если не считать точек расположения источников эта часть, так же как и соответствующая часть в [подобно членам (12.26)], должна быть квадратичной по полю . Поэтому данное слагаемое имеет вид

Величина (14.17) — это часть действия следовательно, она инвариантна относительно глобальных преобразований группы при которых величины и со" преобразуются по регулярному представлению. Так как величины антикоммутируют между собой,

Дифференцируя (14.15) по и полагая затем

мы придем к тождествам Якоби (12.10) для Этих свойств достаточно для того, чтобы отождествить со структурными константами группы При подходящем выборе получаем

гдеару — нормированные обычным образом, полностью антисимметричные структурные константы.

Итак, на данном этапе с помощью выражения (14.17) установлено, что величины в представляют собой параметры группы локальных преобразований кроме того, определены «затравочные» константы связи (которые одинаковы при всех а, соответствующих какой-либо подгруппе группы

Рассмотрим далее член действия зависящий от и. Из соображений размерности и с учетом того, что шпурионные линии не оканчиваются, можно сказать, что он должен иметь вид

При дифференцировании тождества (14.15) и вклад дают только члены (14.17) и (14.19), причем этот вклад равен

(напомним, что оператор содержит производные, действующие направо). Подобно соотношениям (11.37) и (11.38), равенство (14.20) означает, что

Поэтому мы имеем право записать член (14.19) в виде

где

Второй член выражения (14.19) является частью и, следовательно, инвариантен относительно глобальных преобразований группы причем закон преобразования и

известен. Отсюда и из соотношения (14.21) следует тождество

Иными словами, величины это матрицы, реализующие соответствующее представление группы

Тождеством (14.16) фиксируется шпурионная часть действия в виде

как мы и ожидали, исходя из соотношений (14.14) и (14.24).

Наконец, при подстановке в формулу (14.15) значения сохранится только первый член тождества, указывающий нам, что остаток действия инвариантен относительно преобразований (14.19). Итак, есть инвариант локальных преобразований (14.24), которые образуют некоторое представление локальной группы

Теперь остановимся на различии между и В ходе проведенных рассуждений произвольные параметры возникли в трех местах: константы в члене (14.17), величины в члене (14.19) и в действии (константы связи и массы полей, отличные от В действии все эти параметры имеют другие значения: и т. д.

Кроме того, различна и нормировка билинейных членов в и Выражение (14.26), например, содержит члены, пропорциональные Мы выберем нормировку перенормированных полей со" так, чтобы в действие эти члены входили именно в виде

Тогда перенормированная форма члена (14.19) может быть выписана в явном виде:

где индекс пробегает значения, соответствующие скалярным полям, имеет размерность массы.

Если выразить через перенормированные поля, то вместо члена (14.28) действие будет содержать члены

и вместо выражения (14.27) — величину

Величины константы перенормировки поля они не зависят от а, если все а принадлежат одной подгруппе группы силу инвариантности относительно глобальных преобразований]. Точно так же кинетический член в для поля содержит перенормировочную константу не зависящую от индекса а для каждого неприводимого представления группы

Ковариантная производная, соответствующая выражению (14.29), имеет вид

Положив

можно представить производную (14.31) в форме

где

Выражения (14.31) или (14.33) показывают, каким образом величины или входят в

Заметим, что калибровочные преобразования, определяемые формулами (14.28) и (14.29), неодинаковы, т. е. и инвариантны относительно разных преобразований, хотя каждое из этих множеств преобразований образует представление одной и той же локальной группы Контрчлены [формула (14.2)] неинвариантны относительно какого бы то ни было множества локальных преобразований.