§ 5. Мягкие пионы

Хотя в нерелятивистских системах многих частиц и возможно спонтанное нарушение симметрий, в физике элементарных частиц оно, казалось бы, не должно иметь места, поскольку в природе не обнаружены безмассовые бозоны со спином 0. Тем не менее понятие спонтанного нарушения оказалось полезным и в физике частиц. Идея заключается в том, чтобы рассматривать нестранные слабые аксиально-векторные токи в обозначениях гл. 2, § 2) как токи с почти нулевой дивергенцией, а пионы (самые легкие из известных сейчас адронов) — как почти голдстоуновские бозоны. Именно этой гипотезой, как утверждают, объясняется успех соотношения Голдбергера — Треймана и других предсказаний (модели частично сохраняющегося аксиального тока). Изложение теории выходит за рамки этой книги. Отсылаем читателя к книге Адлера и Дашена [6, гл. 2]. Мы лишь покажем, как следует модифицировать модель Голдстоуна, чтобы она давала голдстоуновские бозоны малой массы.

Добавим к потенциалу V в формуле малый член

так чтобы инвариантность относительно фазовых преобразований (5.4) нарушалась. Теперь вместо формы фиг. 5 потенциальная поверхность будет иметь форму, показанную на фиг. 6 Здесь имеется только один минимум, расположенный в точке

причем

Следуя рассуждениям § 2 данной главы, но используя вместо соотношений (5.7) формулу (5.33), мы получаем дополнительно к лагранжиану (5.10) член вида

Это и есть малый массовый член для голдстоуновского поля.

Фиг. 6. Деформированная потенциальная поверхность.

Из-за наличия члена (5.31) при инфинитезимальных фазовых преобразованиях (5.4) лагранжиан изменяется на величину

Отсюда следует соотношение

которое можно было также вывести из формулы (5.24) и уравнений движения. Таким образом, формула (5.34) связывает массу с дивергенцией тока, теперь уже отличной от нуля.

Чтобы распространить все сказанное на физические условия, соответствующие [79], мы выберем в качестве исходной группы инвариантности группу связанную с токами , которые были введены в гл. 2, § 2. Для бозонных полей мы выберем действительное четырехмерное представление (предполагая, что пионы в рамках этой модели описываются фундаментальными полями)

Поскольку группа локально изоморфна группе мы можем рассматривать величину (5.37) как -вектор относительно группы При преобразованиях изотопической подгруппы поле преобразуется как изовектор, а поле — как изоскаляр. Действие остальных генераторов определяется коммутационными соотношениями

Очевидно, что поля а и имеют противоположные четности, и мы можем выбрать поле а так, чтобы оно было скалярным. Нарушающий симметрию член, аналогичный добавке (5.31), выберем в виде

так как тогда будут сохраняться и четность, и изотопический спин. Потенциал V — это потенциал типа представленного на фиг. 6, но обобщенный на случай четырех измерений. У него только один минимум — в точке

Аналоги формул (5.34) и (5.36) будут иметь вид

причем последнее соотношение представляет собой операторную форму Результаты теории мягких пионов получим из формул (5.41) и (5.42), положив в них малой величину Из выражения

[аналогично выражению (5.23)], зная экспериментальное значение вероятности распада пиона, получаем

Несколько слов, сказанных нами о гипотезе должны лишь показать читателю, что спонтанное нарушение симметрии может иметь приложения и в физике частиц. Все сказанное здесь не относится непосредственно к предмету локальных калибровочных теорий, так как последние не допускают явного введения даже малого по величине члена, нарушающего симметрию, подобного членам (5.31) или (5.39),