§ 3. Обобщенные тождества Уорда — Такахаши

Наша следующая задача — найти условия, налагаемые инвариантностью, установленной в § 2, на функционал который генерирует сильно связные вершины (гл. 10, § 4). Поскольку преобразования (12.3) и (12.8) нелинейны, прямо мы этого сделать не можем. Следуя работе [122], мы вначале введем внешние источники для нелинейных операторов в формулах (12.3) и (12.8). Включив также источники для каждого из полей, мы добавим к лагранжиану (12.1) члены

в которых х, у и — антикоммутирующие источники. Согласно выражениям (12.9) и (12.10), каждый из коэффициентов инвариантен. Производящий функционал зависит теперь от всех пяти источников; так же как в формуле (10.29), мы определим X соотношением

[Как и в формуле (11.18), мы пользуемся символом а не поскольку вместо 9? используется лагранжиан (12.1)].

Чтобы получить тождества, в интеграле по траекториям, который приводит к представлению (12.12), произведем замену переменных

Якобиан преобразования от старых переменных к новым равен единице. Это следует из соотношений

В якобиан входят определители матриц, стоящих справа, а каждый из них равен единице (мы работаем в первом порядке по поскольку Таким образом, преобразование (12.13) не изменяет функционального интеграла. Поскольку лагранжиан (12.1) и члены с в формуле (12.11) инвариантны, мы заключаем, что

где интеграл полного действия, построенного по лагранжиану (12.1) и (12.11). С учетом выражений (12.3), (12.5)

и (12.8) условие (12.15) можно записать в виде

Так как в данное соотношение входят лишь производные первого порядка (а этого не было бы, если бы мы не ввели источники и и о для нелинейных операторов в силу представления (12.12), оно приводит к равенству

Наша следующая задача — преобразовать соотношение (12.17) в условие для производящего функционала Определим функционал [в некоторой аналогии с формулой (10.40)] посредством соотношения

Заметим, что источники не преобразуются. На основании такого определения выражение (12.17) преобразуется к виду

Последний результат может быть упрощен. Мы воспользуемся тем обстоятельством, что и лагранжиан (12.1) и члены (12.11) линейны по следовательно, уравнение движения, соответствующее имеет вид

или, иначе,

Итак, уравнение (12.19) принимает форму

Полагая

уравнение (12.22) можно представить в виде

Два последних соотношения показывают нам, что фиксирующий калибровку член лагранжиана (12.1) входит без изменения в функционал а остальная часть последнего Г удовлетворяет условию инвариантности того же вида, что и оставшаяся (без члена, фиксирующего калибровку) часть (12.11) лагранжиана (12.1).

Фиг. 16. (см. скан) Графическое представление тождеств Уорда. а — тождество (12.24); диаграмма, исключаемая из рассмотрения; в — случай одной свободной шпурионной линии; случай двух свободных шпурионных линий.

Тождества (12.24) представлены графически на фиг. 16, а. Маленьким кружком обозначено дифференцирование по или й. Каждая стрелка на шпурионной линии (пунктирной линии) соответствует градиенту (т. е. -вектору импульса в импульсном пространстве). Заметим, что поскольку функционал соответствует сильно связным диаграммам,

диаграммы, имеющие структуру типа фиг. 16,б, исключаются из рассмотрения.

Шпурионные линии никогда не начинаются внутри диаграммы. Отсюда следует, что тождество фиг. 16, а можно разбить на ряд тождеств соответственно числу входящих незамкнутых шпурионных линий (они могут содержать произвольное число замкнутых шпурионных циклов). На фиг. 16, в имеется одна входящая шпурионная линия и нет ни одной выходящей. В этом случае второй член выражения (12.24) не дает вклада. На фиг. входят две шпурионные линии, а выходит одна.

Равенство (12.24) представляет собой фундаментальное тождество. Оно нелинейно, причем вспомогательные функционалы не известны априори. В то же время они не являются полностью не зависящими от обычных вершинных частей теории.

Фиг. 17. Графическое представление тождества (12.25).

Связь задается соотношением (12.21), которое имеет аналогичную форму и для функционала Г:

Графически это изображено на фиг. 17, где первая диаграмма соответствует вершине с источником и, свернутой с -им-пульсом (выходящая стрелка), а маленький кружок со стрелкой означает дифференцирование по