Глава 3. Фотоны

В предыдущей главе мы указали физические причины того, что заряженные массивные частицы со спином 1, как правило, ассоциируются с плохим высокоэнергетическим поведением и отсутствием перенормируемости. Как же получается, что теория фотонов, которые также имеют спин 1, не страдает этими недостатками? Наиболее явное различие между двумя случаями заключается в том, что у фотонов нет массы и, следовательно, неприятные члены, содержащие в выражениях (2.26) и (2.37), в квантовой электродинамике в принципе не могут возникнуть. Позже мы убедимся, что данное обстоятельство тесно связано с таким существенным моментом, как калибровочная инвариантность, хотя и не совсем ей тождественно.

§ 1. Спиновые состояния фотона

Поскольку фотоны безмассовые, они могут находиться лишь в двух состояниях с поперечной поляризацией (или спиральностью ±1). Они не могут быть продольно поляризованными. Это в конечном итоге следует из лоренц-ковариантности. Пусть квантовомеханические генераторы преобразований Лоренца, образующие антисимметричный -тензор. Спин частицы с -импульсом представляется вектором Паули-Любанского (см., например, [159, гл. 4])

который имеет три независимые компоненты. Спиновые состояния частицы ненулевой массы можно охарактеризовать парой уравнений на собственные значения

Здесь величина спина, a — его проекция на направление произвольного -вектора удовлетворяющего условиям

В случае же нулевой массы можно непротиворечиво наложить более сильное условие

где а — целое или полуцелое число (спиральность). При соотношение (3.4) было бы противоречивым, поскольку вектор (3.1) удовлетворяет условию 0. Если четность — хорошее квантовое число, то она связывает состояния с противоположными по знаку значениями а. Для фотона .

В теории поля каждая частица ассоциируется с некоторым полем, обладающим определенными трансформационными свойствами относительно преобразований однородной группы Лоренца. В случае массивной частицы со спином 1 нетрудно связать -вектор со спиновым состоянием а. Для этого требуется лишь набор трех независимых векторов, удовлетворяющих соотношениям

При построении обычной квантовой теории уравнений Максвелла приходится также вводить -вектор: электромагнитный -потенциал (Манделстам [141] показал, что можно работать и с полями но это приводит к некоторым усложнениям.) Поскольку существует лишь два спиновых состояния, требуется два независимых вектора В самом деле, при уравнения (3.5) имеют только два независимых решения. [Вектор (2.36), который представляет собой вектор продольной поляризации в случае ненулевой массы, не имеет предела при ] Беда, однако, в том, что вектор поляризации не определяется спиральностью а однозначно. Если подходящий вектор, то подходящим будет и вектор

при любом значении со. Действительно, вектор удовлетворяет соотношениям (3.5), а спиновое состояние частицы определяется преобразованиями Лоренца, которые оставляют инвариантным (они порождаются вектором очевидно, что при преобразованиях Лоренца величины преобразуются тождественным образом.

Можно добиться однозначности в определении вектора поляризации фотона, если, например, ввести вектор и дополнить соотношения (3.5) условием

Недостаток такого определения заключается в том, что при Этом мы жертвуем лоренц-инвариантностью, ибо вектор

выбирается произвольно. При преобразованиях Лоренца имеем

где обычная матрица преобразования, а — коэффициент, подобранный так, чтобы восстановилось условие (3.7) (мы считаем, что при преобразованиях Лоренца не изменяется). На такую точку зрения встал Вейнберг [200].