§ 3. Расчет нарушения симметрии

В теории Вейнберга — Салама как и в большинстве самых простых моделей, спонтанное нарушение симметрии определяется в сущности лагранжианом, параметры которого могут быть выбраны произвольно. Однако можно привести примеры, где это не так.

Запишем эффективный потенциал (14.44) в виде

где V соответствует перенормированному лагранжиану, а вкладам высших порядков. В модели Вейнберга — Салама обе величины являются функциями одного инварианта и поэтому член не приводит к существенному изменению характера решения (14.47).

Предположим, однако, что потенциал инвариантен относительно группы более широкой, чем группа Тогда условие стационарности (14.48) для V недостаточно для определения (с точностью до произвольного преобразования из группы которое всегда возможно) и, следовательно, наличие члена имеет важное значение. Так обстоит дело в случае, когда существуют инварианты, построенные из полей степени, большей четырех (и не сводящиеся к инвариантам более низких порядков), причем эти инварианты входят только в величину но не в потенциал

Рассмотрим один пример. Выберем в качестве группу и пусть преобразуется как октетное представление этой группы, записанное в виде эрмитовой -матрицы с нулевым следом. Существует два независимых инварианта Функция V должна быть вида

и иметь стационарные значения только тогда, когда

Октеты, удовлетворяющие соотношению (15.12), имеют два одинаковых собственных значения, и они называются

«зарядами» [147]. Путем -преобразования можно получить

В этом случае малой группой служит группа Члены высших порядков в не могут, вообще говоря, привести к стационарной точке, отличной от значения (15.13), поскольку они не могут погасить член нулевого порядка

возникающий из

Пока что мы не получили ничего интересного. Предположим, однако, что мы дополнили группу дискретным преобразованием так, что в формуле Тогда потенциал V инвариантен относительно группы при этом условием стационарности для V фиксируется знадение но не значение В данном случае истинный минимум и значение могли бы определяться членами высших порядков (которые, вообще говоря, зависят от Без потери общности можно было бы выбрать

где — параметр, который можно вычислить на основании Малой группой соответствующей матрице (15.14), является группа

Рассмотренные нами два возможных варианта различаются массами компонент поля В первом случае [вакуумное среднее вида (15.13)] компоненты (принимается обозначение Яафа) соответствуют голдстоуновским бозонам, а компоненты хиггсовским частицам (поскольку матрицы коммутируют с матрицей Во втором случае [вакуумное среднее вида (15.14)] только компоненты соответствуют хиггсовским частицам. Но тогда как поле

приобретает массу за счет потенциала V обычным образом, масса ортогонального ему поля

возникает благодаря только потенциалу квадрат его массы — величина порядка следовательно, она может

быть вычислена. Подобные частицы Вейнберг [207] назвал «псевдоголдстоуновскими бозонами».

Анализ случая псевдоголдстоуновских бозонов в общем виде легко провести, если заменить в формулах, следующих за формулой (6.34), группу группой Пусть -матричное представление генераторов группы по которому преобразуется поле Компоненты поля в пространстве с базисом

но не в пространстве, натянутом на векторы (6.34), соответствуют псевдоголдстоуновским бозонам.