Глава 15. Нарушение симметрии и разности масс

§ 1. Вычислительные возможности

Перенормируемость в сочетании с локальной калибровочной инвариантностью дает большие возможности. В перенормируемой теории всякий интеграл, который не имеет соответствующих ему контрчленов, должен быть конечным. В локальной калибровочной теории форма контрчленов ограничена тем условием, что они должны быть равны разности двух калибровочно-инвариантных лагранжианов Вследствие этого некоторые величины, кажущиеся на первый взгляд расходящимися, на самом деле в ряде случаев сходятся и могут быть вычислены. В определенных моделях конечны некоторые разности масс и, кроме того, можно даже рассчитать некоторые характеристики спонтанного нарушения симметрии. Как это все ни увлекательно, такие возможности пока еще не использованы в какой-либо модели, соответствующей реальной действительности. Чтобы проиллюстрировать основные принципы, мы приведем два простых, но искусственных примера.

§ 2. Массы

Мы будем рассматривать только фермионные массы. В теории со спонтанно нарушеннной симметрией до нарушения симметрии массы всех частиц, входящих в мультиплет, одинаковы (если симметрия киральная, то фермионные массы равны нулю). Разности масс (и вообще конечная масса в случае киральной симметрии) обусловлены связью мультиплета с полем Хиггса, примером которой служит связь (8.28). Взаимодействия Юкавы вида

перенормируемы, и поэтому они должны возникать в лагранжиане с произвольными константами связи. Взаимодействия же вида

могут появляться только в производящем функционале (гл. 10, § 4), а не в лагранжиане, и поэтому они входят с конечными коэффициентами, которые могут быть вычислены. Массовые члены

возникающие из-за лагранжиана (15.1), произвольны, тогда как члены

обусловленные взаимодействиями (15.2), поддаются вычислению. Ценные результаты получаются тогда, когда члены (15.4) неэквивалентны членам (15.3).

Фиг. 25. Диаграммы для вычисления конечной разности масс фермионов.

Один из простейших случаев — когда взаимодействие (15.1) запрещено дискретной симметрией Данное явление впервые было замечено в модели Хоофта [191]. Пусть (некиральная) группа и пусть поле Хиггса и фермионное поле каждое в отдельности представляет собой триплет. В нулевом порядке благодаря инвариантному массовому члену

фермионы имеют общую массу В силу налагаемого нами требования инвариантности относительно замены лагранжиан не содержит связи между фермионами и

хиггсовскими полями. Но в функционале вершина

присутствут, и, если она приводит к массовому члену

Коэффициент у вычисляется из (сходящихся) диаграмм фиг. 25 (внешние фермионы находятся на массовой поверхности)

В калибровке Ландау в формуле (6.19)] вклад диаграммы фиг. 25, а равен нулю, поскольку каждая из вершин приводит к множителю (импульс петли), который сводит к нулю поперечный -пропагатор. Диаграмма и диаграммы высших порядков дают вклад

где — функция собственной энергии, определяемая диаграммой в. Обычные вычисления приводят к выражению

так что

Таким образом, из формулы (15.7) следует, что нейтральный член фермионного триплета легче, чем заряженные.

В какой-либо модели, соответствующей действительности, подобная идея не нашла еще успешного приложения. Так, для вычисления массы электрона необходимо, чтобы электрон был членом мультиплета, содержащего по крайней мере еще один лептон (мюон?) с конечной массой в нулевом порядке [заметим, что величина (15.9) пропорциональна Попытки, предпринимаемые в этом направлении, наталкиваются на определенные трудности [61, 82, 150, 207].

Для вычисления электромагнитных разностей масс адронов можно сначала рассчитать разности масс кварков. С особой тщательностью следует учитывать влияние на слабые и электромагнитные взаимодействия сильных взаимодействий (гл. 18, § 4; см. также работу [208]). Другие подходы к этой проблеме отражены в работах [54, 58, 72].