§ 5. Асимптотическая свобода

Согласно партонной модели неупругого лептон-адронного рассеяния при больших энергиях и переданных импульсах, лептон взаимодействует с одиночной точечной составляющей адрона, которая вследствие малой длительности взаимодействия почти свободна. Расчеты же в рамках обычных перенормируемых теорий поля не подтверждают такой картины — поля не становятся свободными при больших переданных импульсах. Но в некоторых неабелевых калибровочных теориях возникает иная ситуация. Мы объясним вкратце, как это можно показать.

Для простоты возьмем лагранжиан без масс и размерных констант связи (в системе подобный, например, лагранжиану поля Янга — Миллса. Чтобы перенормировать такую теорию, используя, к примеру, размерную регуляризацию (гл. 13, § 2), приходится вводить размерный параметр Неявно этим фиксируется определение перенормированных констант связи (гл. 14, § 1). Как мы сейчас покажем, рассматривая зависимость от параметра можно исследовать поведение теории при больших переданных импульсах.

Рассмотрим перенормированную сильно связную функцию Грина для частиц с импульсами Запишем ее

как функцию

Согласно теории перенормировок, функция Грина связана с затравочной функцией Грина (с размерностью так что все величины конечны) соотношением

где константа перенормировки для рассматриваемых полей, а величина, которая определяется, например, формулами (14.36) и (14.37). Для простоты мы ограничимся случаем тождественных бозонов и предположим, что в теории есть только одна константа связи.

Правая часть равенства (18.17) не зависит от параметра поскольку вводится лишь для определения перенормированных величин. Это условие можно представить в виде уравнения Каллана-Симанзика

где

Если функции известны, то уравнение (18.18) дает нам зависимость функции от В то же время из обычных соображений размерности следует, что

таким образом, зная зависимость функции от можно сделать вывод о ее поведении при масштабном растяжении, всех -импульсов. Ясно, что данный скейлинг несовместим с условиями перехода на массовую поверхность, и, следовательно, такие рассуждения неверны в приложении к -матричным элементам. Уравнение (18.18) обычно рассматривают лишь в евклидовой области (где любая линейная комбинация векторов пространственно-подобный вектор), чтобы избежать пороговых сингулярностей.

Посмотрим, как можно вычислить функции в формулах (18.19) и (18.20) (мы будем следовать Хоофту [193]). Для данной модели, содержащей единственный параметр общая формула (14.3) разложения константы перенорми»

ровки принимает вид

где безразмерная величина [формула (13.9)]. Дифференцируя выражение (18.22) по (при фиксированной величине получаем

Поскольку теория перенормировок гарантирует, что при любом выборе параметра константа конечна, функция тоже должна быть конечной свободной от полюсов при Поэтому уравнение (18.23) можно решить методом итераций для что дает

Последнее соотношение представляет собой ограничение на параметры следующее из перенормируемости теории (в общем случае все величины выражаются через При в выражении (18.24) мы имеем лишь члены, остающиеся после сокращения множителей от дифференцирования величины с расходимостями (В этом отношении функция напоминает аномалии, рассмотренные в гл. 13, § 3.) Аналогичным путем можно найти функцию у в формуле (18.20).

В случае свободных полей (или если бы не было расходимостей) функция в формуле (18.16) не зависела бы от (в самом деле, во введении величины не было бы никакой необходимости). Отклонение от масштабного поведения, соответствующего случаю свободных полей, обусловлено наличием функций в уравнении (18.18).

Прежде чем решать уравнение (18.18), мы должны решить уравнение (18.19) с тем, чтобы найти вид функции в частности, получить асимптотическое представление функции в пределе больших значений параметра Если при то член низшего порядка в (18.24). удовлетворяет уравнению (18.19), что дает

где постоянная. Представление (18.26) справедливо при условии

Если это так, то при больших переданных импульсах эффективная константа связи стремится к нулю, и этим в принципе можно объяснить применимость партонной модели. [Но даже при выполнении условия (18.27), -член в уравнении (18.18) приводит к логарифмическим отклонениям от масштабного поведения, соответствующего случаю свободных полей.]

Условие (18.27), которое оказывается необходимым для существования «асимптотической свободы», не выполняется в обычных теориях полей с трилинейной связью. В электродинамике величина должна быть отрицательной, и это подтверждается простыми физическими рассуждениями. Во-первых, заметим, что при регуляризации расходящихся интегралов введением импульса обрезания полюс заменяется положительной величиной Поэтому условие (18.27) равносильно требованию

Но в электродинамике перенормировку заряда можно интерпретировать как перенормировку за счет поляризации вакуума. Такой эффект должен приводить к экранировке затравочного заряда и, следовательно,

Существуют и строгие неравенства, которые дают этот результат. По определению

где константы перенормировок вершинной части электронного и фотонного полей. Но в электродинамике (по крайней мере в обычных калибровках)

и при этом можно доказать [117], что

В случае же неабелевых калибровочных теорий такие рассуждения теряют силу. Равенство (18.31) неверно [разве что в аксиальной калибровке (3.10)], поскольку обобщенное тождество Уорда связывает отношение со шпурионными диаграммами (гл. 14, § 2; см. также работы [186, 190]). Кроме того, константа зависит от выбора калибровки, так что и неравенство (18.32) может оказаться неверным. В

действительности для обычной теории Янга — Миллса найдено, что

где константа связана с группой и определяется соотношением

[структурные константы те же, что и в формуле (6.27)]. Фермионы дают отрицательный вклад в величину но это не изменяет знака выражения (18.33), если только в теории не присутствует несколько фермионов.

Если ввести скалярные поля, чтобы за счет механизма Хиггса сделать частицы со спином 1 массивными, то непременно возникает дополнительная константа связи В этом случае уравнение (18.19) должно быть заменено системой связанных уравнений относительно констант а условие существования «асимптотической свободы» будет равносильно требованию одновременного стремления к нулю констант связи и при Построить модель, обладающую «асимптотической свободой», которая бы имела в своем распоряжении лишь одну безмассовую векторную частицу, оказалось невозможным [95].

Из-за наличия инфракрасных расходимостей теории Янга — Миллса (без полей Хиггса) не удается последовательно интерпретировать в рамках обычной теории возмущений (гл. 4, § 4). В самом деле, знак величины в формуле (18.27) соответствует «асимптотической свободе» при больших переданных импульсах, но не соответствует «свободе» при малых импульсах (инфракрасная область). Не исключено, что при правильном понимании теория Янга-Миллса сможет дать подходящую основу для теории сильных взаимодействий.

В надежде на это мы можем вывести ряд следствий для такой «асимптотически свободной» теории поля. Есть основания полагать, что уравнение Каллана-Симанзика, подобное уравнению (18.18), применимо к моментам структурных функций неупругого лептон-адронного рассеяния. В теории свободных полей эти моменты должны быть постоянны и не зависеть от переданного импульса В «асимптотически свободной» теории поля «аномальная размерность» у в уравнении (18.18) приводит к логарифмической зависимости от импульса [при значениях для которых функция мала]. Предсказываются поразительные эффекты [93], но экспериментально мы пока не в состоянии их обнаружить.

Подробнее вопрос о теориях с «асимптотической свободой» рассматривается в обзоре Полицера [166].