§ 2. Голдстоуновская модель теории поля

Релятивистская квантовая теория поля имеет дело с бесконечным числом степеней свободы, поэтому в ней также возможно спонтанное нарушение симметрии. Мысль об использовании такой возможности принадлежит Намбу [153]. Голдстоун [90] предложил модель теории поля, которая на деле демонстрировала спонтанное нарушение.

Пусть плотность лагранжиана комплексного скалярного поля

имеет вид

где потенциал представляется в следующей форме

Такой лангранжиан инвариантен относительно фазовых преобразований общего вида

Член, пропорциональный соответствует самодействию. Обычно выбирают поскольку, как следует из выражения (5.3), при энергия не имела бы минимума. Если бы в формуле (5.3) было принято то мы бы имели обычный массовый член, и ничего примечательного в такой модели бы не было. Предположим вместо этого, что мы выбрали Тогда функция имеет вид, показанный на фиг. 5 [где мы игнорировали то обстоятельство, что -поле]. Поверхность по форме очень похожа на донышко бутылки; она имеет локальный максимум при и минимум вдоль окружности

Из фиг. 5 явствует, что основное состояние (вакуум), вероятно, должно быть связано со значениями лежащими на

окружности (5.5); таким образом, вакуумное среднее поля должно равняться не нулю, а величине, соответствующей равенству

Фаза величины произвольна, но мы можем выбрать оси 1 и 2 так, чтобы выполнялись условия

В таком случае вакуумное состояние очевидно, не будет инвариантным относительно преобразований (5.4).

Фиг. 5. Потенциальная поверхность

Подчеркнем два момента в этих рассуждениях. Во-первых, фиг. 5, на основании которой мы написали формулу (5.6) — это всего лишь намек, поскольку мы полностью пренебрегли тем обстоятельством, что поле. Во-вторых, если бы были координатами частицы, а не полями, то рассуждения были бы неверны; основное состояние должно было бы быть симметричным состоянием с нулевым угловым моментом.

Правильный подход к выражению (5.6) таков: мы предполагаем, что

и показываем, что такое предположение не приводит к противоречию по крайней мере в ограниченных рамках теория

возмущений. В данный момент нас не интересует строгое доказательство правильности или неправильности предположения (5.8). В гл. 14, § 5, мы еще раз вернемся к выражению (5.6). Там мы увидим, что это выражение правильно, если лагранжиан (5.2) перенормируем.

Но как проводить вычисления с лагранжианом (5.2) (при Проще всего ввести новое поле

вакуумное среднее которого равно нулю. Тогда выражение (5.2) перепишется в виде

Теперь можно надеяться, что выраженный через лагранжиан (5.10) удастся интерпретировать обычным образом, не касаясь более свойств вакуума. При этом мы замечаем, что полю соответствует частица с действительной массой а поле безмассовое. Причина этого качественно ясна уже из фиг. 5: поле соответствует радиальным осцилляциям относительно некоторой точки на окружности минимума (5.5), а поле движению по этой окружности с нулевой частотой.