§ 4. Теорема Голдстоуна

В модели, описанной в гл. 5, § 2, важную роль играет величина поле с квантовыми числами вакуума, вакуумное среднее которого не равно нулю. Такое поле, по-видимому, необходимо для того, чтобы можно было проводить вычисления методом простой теории возмущений в случае теорий поля с нарушенной симметрией. Но принципиальной необходимости в таком поле нет. Вместо этого можно было бы, например, взять билинейный оператор с ненулевым значением вакуумного среднего.

Тем не менее модель Голдстоуна. иллюстрирует одну общую закономерность спонтанного нарушения симметрии: необходимость появления безмассовых бесспиновых частиц (или возбуждений). Под влиянием идей Намбу [153] Голдстоун первым оценил важное значение таких бозонов [90, 91]. Мы наметим схему общего доказательства теоремы в форме, пригодной и для релятивистских случаев [86]. Пусть группа симметрии лагранжиана соответствует набору токов Нётер с дивергенцией, равной нулю:

Так как симметрия спонтанно нарушена, предположим, что существует некоторый оцератор который не является

инвариантом относительно группы и вакуумное среднее которого не равно нулю. Поскольку оператор неинвариантен, должно существовать нечто преобразующееся в него. Таким образом, существует другой оператор такой, что

хотя бы при одном значении а. Построим функцию

Оператор подобно должен быть лоренцевым скаляром, так что имеет вид

Уравнение (5.16) дает

следовательно,

Уравнение (5.17) означает, что по крайней мере одна из величин отлична от нуля.

Подставим теперь между операторами в коммутаторе выражения (5.18) полный набор состояний

Согласно представлению (5.21), по крайней мере одно из этих состояний имеет -импульс удовлетворяющий условию Это состояние и есть безмассовый «голдстоуновский бозон», существование которого нам нужно было установить. Это состояние — бесспиновое, поскольку оператор скаляр.

В данном случае из доказательства следует, что величина не равна нулю. В силу лоренц-инвариантности, мы можем написать

где постоянная, отличная от нуля. Это уравнение является характеристикой спонтанного нарушения симметрии.

Доказательство теоремы Голдстоуна в случае нерелятивистских систем оказывается более сложным. Мы отсылаем читателя к обзору Гуральника, Хагена и Киббла [97], а сами ограничимся одним простым примером.

Голдстоуновские возбуждения легко объяснить на примере ферромагнетика. Рассмотрим спиновую волну (магнон) с очень большой длиной волны В областях, размеры которых малы по сравнению с длиной волны X, мы имеем приблизительно основное состояние с намагниченностью в некотором направлении, но от области к области это направление медленно изменяется. Если силы между спинами обладают конечным радиусом действия, то достаточно бесконечно малой энергии возбуждения, чтобы изменить эту ситуацию, и, таким образом, с ростом длины волны частота спиновых волн стремится к нулю. Заметим, что здесь очень важное значение имеет предположение о конечном радиусе действия сил (гл. 6, § 1).

Обратимся вкратце к модели § 2 данной главы. Ток, соответствующий инвариантности относительно фазовых преобразований, записывается как

Если перейти к полю то это выражение принимает вид

Последний член этого выражения помогает понять нам смысл соотношения (5.23), поскольку это поле, переводящее голдстоуновское состояние в вакуумное состояние.

Мы описали модель для простого случая, когда поле было двумерным представлением группы Легко обобщить ее на случай группы с генераторами когда поля это действительное -мерное представление, в котором генераторы имеют вид матриц (каждая из матриц действительная антисимметричная -матрица). Пусть

где постоянный -компонентный вектор в пространстве представления. Векторы

порождают подпространство размерности не может равняться поскольку подпространство ортогонально вектору Симметрия малой группы группы соответствующей вектору не нарушается до тех пор, пока выполняется равенство (5.26).

Инвариантность потенциала являющегося обобщением потенциала (5.3), означает, что

Мы предположим, что

Тогда, дифференцируя тождество (5.28), получаем

Выражение в квадратных скобках представляет собой массовую матрицу бозонов, и соотношение (5.30) означает, что эта матрица не имеет элементов в подпространстве, определенном формулой (5.27). Следовательно, существуют нулевых собственных значений и они соответствуют голдстоуновским бозонам. Остающиеся частиц обладают в общем случае ненулевыми массами.