§ 3. Тяжелые векторные мезоны и высокоэнергетическое поведение

От изучения деталей структуры тока (2.8) мы теперь перейдем к динамике -мезонов. Возьмем в качестве примера распад нейтрона

В низшем (втором) порядке по амплитуда распада в соответствии с формулами (2.7), (2.8) и (2.9) равна

Здесь полный -импульс лептонов, а их дираковские спинорные волновые функции. Лептонная часть матричного элемента вычисляется точно, поскольку мы пренебрегаем электромагнитными поправками (и поправками за счет высших порядков слабых взаимодействий). Состояния — это конечное и начальное адронные состояния, так то точное вычисление матричного элемента относится к проблемам физики сильных взаимодействий.

Выражение в квадратных скобках в формуле (2.23) представляет собой пропагатор виртуального -мезона, которым процессе взаимодействия обмениваются токи. Член, содержащий в силу уравнений Дирака для и пропорционален массе электрона . Если то

пропагатор довольно хорошо аппроксимируется выражением

В этом приближении взаимодействие эквивалентно прямому взаимодействию с эффективной константой связи Ферми

(Множитель введен в формулу (2.7) для согласования с обозначениями, принятыми в главе 8; что касается различия в множителе 2 между формулами (2.23) и (2.25), то это историческая случайность, проистекающая из определения величины данного еще до открытия нарушения четности.) Теперь остановимся на форме пропагатора

в выражении (2.23), где малая положительная величина, которой определяется контур обхода полюса в фейнмановском интеграле. Согласно фундаментальному принципу унитарности (см., например, [59, стр. 110]), мнимая часть выражения (2.26)

интерпретируется как амплитуда, соответствующая реальным (а не виртуальным) частицам. Тогда тензор в формуле (2.27) обусловлен суммой по трем состояниям поляризации частицы со спином 1

где три независимых вектора поляризации, каждый из которых удовлетворяет условию

Член с возникает в формуле (2.27) из-за того, что существуют лишь три спиновых состояния с векторами поляризации, подчиняющимися условию (2.29). Например, если выбрать импульс вдоль оси времени, то каждый из векторов имеет нулевую временную компоненту и выражение (2.28) будет оператором проектирования на пространство векторов с нулевой временной компонентой.

Заметим, что в формуле (2.27) величина совпадает с но это не относится к формуле (2.26). Замена на в выражении (2.26) привела бы к полюсу при не имеющему физического смысла.

Признав неизбежность появления выражения (2.26), мы рассмотрим, как влияет это выражение на перенормируемость. Пропагатор частицы со спином имеет вид

Для частицы же со спином это

Для фотона его можно взять равным

Асимптотические формы всех этих выражений, соответствующие большим значениям компонент получаются отбрасыванием масс. Помимо переменной они не содержат иных размерных параметров. Именно поэтому (как упоминалось в § 1) от размерности константы связи зависит, перенормируема теория или нет; приведенные выше пропагаторы не содержат размерных параметров.

Асимптотическая же форма выражения (2.26),

содержит размерный коэффициент В силу этого теории массивных заряженных мезонов со спином 1 не перенормируемы в обычном смысле, хотя константа связи в выражении (2.7) безразмерна. Дело попросту в том, что множители величины в высших порядках теории возмущений должны компенсироваться все сильнее и сильнее расходящимися интегралами.

Теория была бы перенормируемой только в том случае, если бы удалось показать, что виновный во всем член с в формуле (2.26) равен нулю или что от него всегда можно избавиться путем неких преобразований. Известно (см., например, работу [172]), что так обстоит дело в случае связи массивных нейтральных мезонов спином 1) с током, дивергенция которого равна нулю. Основная цель калибровочных теорий, о которых будет идти речь в нашей книге, заключается в том, чтобы построить более сложные модели, в которых точно так же дело обстояло бы в случае заряженных мезонов. Обычная же теория заряженных мезонов со спином 1, основанная на выражениях (2.7) и (2.26), и теория электромагнитных взаимодействий мезонов данному требованию не удовлетворяют, как было показано путем тщательных вычислений [39, 198]. Мы будем довольствоваться тем, что будем рассматривать как косвенное указание на перенормируемость

или неперенормируемость теории высокоэнергетическое поведение борновских членов (мы это уже делали в § 1).

Рассмотрим сначала амплитуду лептонной реакции (2.2), которая определяется выражением, подобным выражению (2.23). Основной результат введения -мезона состоит в замене величины величиной

(члены с дают несущественные произведения лептонных масс). Поэтому формула (2.3) заменяется формулой

Если — энергия и угол рассеяния в системе центра масс, то при больших значениях

следовательно, выражение (2.31) соответствует амплитуде рассеяния

Фиг. 1. Диаграмма Фейнмана для слабого рождения пары -частиц.

Это приводит к ограниченным парциальным амплитудам, если не считать членов, ведущих себя как

Такие члены, конечно, нарушают унитарность при достаточно высоких энергиях, но гораздо слабее, чем в случае (2.3). Безусловно, в некоторой степени и теория возмущений терпит неудачу. Возможно, что при подходящем способе суммирования диаграмм Фейнмана логарифмы свернутся в безобидную функцию. Но такой тип поведения возникает при обмене любой частицей. Это еще не свидетельство против перенормируемости. Поэтому пойдем далее. Реакция

содержит вклад диаграммы фиг. 1. Амплитуда пропорциональна произведению

где дираковские спинорные волновые функции частиц векторы поляризации и -мезонов. Обратимся к специальному случаю, когда -мезон

продольно поляризован (спиральность 0), скажем, в системе центра масс. Тогда, в силу инвариантности относительно вращений вокруг оси к, а также условий (2.29) и нормировки, имеем

Легко убедиться в тождестве

Подставим в формулу (2.35) первый член выражения (2.37). Используя уравнение Дирака для и пренебрегая массой электрона, получаем

Эта амплитуда содержит лишь несколько парциальных волн, и, как нетрудно убедиться, их высокоэнергетическое поведение противоречит условию (2.5) — это фактически следует лишь из наличия размерного множителя

Фиг. 2. Диаграмма Фейимана для электромагнитного рождения пары -частиц

В случае продольного вектора высокоэнергетическое поведение хуже, чем в случае поперечного, но в обоих случаях оно противоречит условию унитарности. Второй член выражения (2.37) не может изменить этого вывода.

Данный пример показывает, что именно множитель в выражении (2.36) является причиной нарушения унитарности в борновском приближении точно так же, как член с в формуле (2.26) препятствует перенормируемости теории.

Возможен и другой - механизм реакции (2.34), а именно обмен виртуальным фотоном (фиг. 2). Он также нарушает при высоких энергиях унитарность (если хотя бы один из -мезонов продольно поляризован). Возможно ли взаимное сокращение двух амплитуд при высоких энергиях? (В таком случае константы оказались бы связанными, но ничего плохого в этом нет.)

Электромагнитные связи заряженных частиц со спином 1 не определяются однозначно, поскольку соответствующие им

магнитный момент и электрический квадрупольный момент нельзя зафиксировать каким-либо простым способом. По причинам, которые станут ясными в гл. 4, мы здесь выберем правую вершину фиг. 2 в виде

где в целях симметрии мы ввели вектор Вспоминая о первом члене формулы (2.37) и умножая выражение (2.39) на получаем

В силу уравнений Дирака для и и условия последние два члена не дают вклада в амплитуду. Пропагатор фотона равен комбинируя это с выражением (2.40), в пределе больших имеем

Мы получили почти правильную структуру для погашения члена (2.38), недостает только слагаемого с Но даже если бы в этом случае сокращение оказалось возможным, оно было бы невозможно для реакции

поскольку для нее существует диаграмма с обменом электроном, аналогичная фиг. 1, но нет электромагнитного процесса, подобного изображенному на фиг. 2.

Таким образом, исходя лишь из заряженных -мезонов и фотонов (и известных лептонов) невозможно достичь приемлемого высокоэнергетического поведения. В гл. 8 мы увидим, как можно добиться взаимного сокращения членов с плохим поведением за счет дополнительных одночастичных обменов.