§ 4. Примеры перенормировок в калибровочной теории

В качестве первого примера упомянутой выше общей схемы мы возьмем обычную теорию Янга — Миллса, рассмотренную в гл. 4 (не учитывая для простоты фермионное поле). Далее мы будем опускать индекс в обозначении перенормированных величин.

Калибровочное преобразование (4.4) содержит один параметр Неперенормированная форма преобразования (4.4) отличается лишь тем, что в нем величина заменена величиной Поэтому неперенормированная форма лагранжиана (4.9) и (11.30) [с добавлением члена из выражения (12.11),

содержащего источник u] имеет вид

Контрчлены, пропорциональные величине компенсируют (в низшем порядке) вклады диаграмм фиг. 22, из которых первая соответствует члену, с а вторая — члену с и. Очевидно, что точно такой же интеграл присутствует в каждой диаграмме.

Фиг. 22. Родственные шпурионные диаграммы.

Пользуясь обозначениями

лагранжиан (14.35) можно записать иначе:

Пропагатор поля получаемый из лагранжиана (14.35), имеет вид

Если выбрать так, чтобы придать перенормированному пропагатору (3.24) некую конкретную форму (например, то при этом пропагатор (14.38), вообще говоря, не сохранит данную форму. "Исключение — случай в котором и перенормированный, и «затравочный» пропагаторы имеют поперечную структуру.

В качестве второго примера мы рассмотрим модель лептонов Вейнберга — Салама . В этом случае, согласно общей процедуре § 3, членом (14.17) определяются две «затравочные» константы связи Член (14.19) задает неперенормированное значение величины возникающей в соотношении (8.20). В гл. 8 предполагалось, что не нарушает ни калибровочной группы электромагнетизма ни симметрии относительно дискретного преобразования зарядового сопряжения. Поэтому то же самое остается

справедливым в отношении причем представляется в форме

аналогичной форме (8.20).

В заключение необходимо перенормировать те параметры, которые не определяются калибровочными преобразованиями. Так, величины в выражениях (8.28) и (8.29) для «затравочного» лагранжиана заменяются величинами Кроме того, свободные лагранжианы полей умножаются соответственно на перенормировочные константы (из-за несохранения четности в силу же свойства приведенного в конце § 1, перенормировки для электрона и мюона одинаковы).

Например, полный «затравочный» электронный лагранжиан (8.26) и (8.28) имеет вид

Массы векторных мезонов в оказываются такими:

т. е. форма (8.3.0) сохраняется. Можно ввести «затравочный» угол Вейнберга, удовлетворяющий соотношению

Указанными выше соотношениями задаются контрчлены выраженные через поля На основании равенств (8.3) их можно выразить через физические поля Подробнее об этом говорится в работе Росса и Тейлора [171].

Заметим, что назначение члена (8.34), фиксирующего калибровку, — обеспечить простую форму перенормированных пропагаторов. Такой же член, фиксирующий калибровку, появляется в действии но здесь он уже не приводит к простым пропагаторам из-за наличия в общем случае смешиваний (конечно, это не вызывает особых хлопот, поскольку практически в вычислениях используется именно перенормированный пропагатор). В этом смысле выделяется калибровка Ландау, в формуле (8.34), которая не претерпевает изменений при перенормировке,