Глава 12. Тождества Уорда-Такахаши
§ 1. Тождества Уорда — Такахаши в калибровочных теориях
Из инвариантности относительно глобальных преобразований прямо следуют выводы физического характера относительно сохранения заряда или вырожденности изотопических мультиплетов (в пределе зарядовой независимости). Инвариантность же относительно локальных преобразований (при условии, что параметры группы стремятся к нулю на бесконечности пространства-времени) не имеет прямых физических следствий. Но она приводит к различным соотношениям между функциями Грина. В электродинамике такие соотношения называются тождествами Уорда — Такахаши (о них говорится в любом учебнике по квантовой электродинамике). Из этих тождеств выводится, например, что равенство «затравочных» электрических зарядов означает равенство перенормированных электрических зарядов.
В неабелевых калибровочных теориях тождества Уорда — Такахаши выглядят гораздо сложнее, но и в этих теориях они играют важную роль. Такие тождества представляют собой необходимое и достаточное условие того, что функции Грина выводятся из лагранжиана, инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований («выводятся» означает строятся путем фиксации калибровки, как говорилось в гл. 11, § 3). Мы воспользуемся тождествами в гл. 14, чтобы показать, что процесс перенормировки совместим с локальной калибровочной инвариантностью.
Если лагранжиан инвариантен относительно преобразований глобальной симметрии, следствие в случае сильно связных вершин оказывается простым: производящий функционал Г (гл. 10, § 4) инвариантен относительно тех же преобразований, примененных к классическим полям в Г. В случае локальной калибровочной симметрии (особенно если она неабелева) ситуация более сложная. Член, фиксирующий калибровку, нарушает инвариантность, а шпурионный «лагранжиан» не инвариантен (в обычном смысле) относительно калибровочных преобразований. Обобщенные тождества Уорда — Такахаши для неабелевых калибровочных теорий формулировались сначала довольно сложным образом [128,
186, 190, 191, 196]. Но позже формулировка тождеств была упрощена за счет приема, предложенного Бекки, Руэ и Стора [29] (см. также работу [122]). Прием состоит в том, что действующие преобразования сводятся к глобальным, которые, однако, становятся нелинейными и смешивают истинные поля со шпурионными полями (последние удовлетворяют антикоммутационным соотношениям).
