Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Выделение калибровочного объемаОсновываясь на методе интегралов по траекториям в применении, скажем, к полю Янга — Миллса, напишем по аналогии с выражением (10.27)
(здесь мы опустили член с (с равным весом). Недостатком представления (11.1) является то, что лагранжиан 2, в силу своей калибровочной инвариантности, не может обеспечить сходимость при интегрировании по любой одной из «орбит» в Чтобы продолжить далее, мы должны дать определение интегрирования по траекториям в пространстве локальных калибровочных преобразований. Запишем конечное калибровочное преобразование в виде
Пусть
для любого фиксированного локального калибровочного преобразования Для инфинитезимальных калибровочных преобразований мы можем взять
То, что это инвариантный элемент объема, можно показать следующим образом. Пусть
Поскольку производные сюда не входят, достаточно вычислить якобиан в какой-либо одной точке пространства-времени:
Тем самым доказывается инвариантность формы (11.4). При каждом х интегрирование по проводится по некоторой компактной области (параметризованной, например, углами Эйлера). Интеграл по
причем возникнет лишь общий множитель. Обозначим через
Инвариантности относительно инфинитезимальных преобразований достаточно, чтобы гарантировать инвариантность относительно конечных преобразований:
Теперь мы можем вернуться к нашей главной задаче и попытаться ввести в выражение (11.1) множитель, обеспечивающий сходимость. Предположим, что мы могли бы найти функционал обладающий свойством
где Положим, что функционалы
где
для любого преобразования
поскольку при Используя последовательно формулы (1111), (11.12) и (11.13), мы получим цепочку равенств
Требуемое уравнение (11.9) следует из тождества
после подстановки в него соотношения (11.14). Изложенные выводы лишены строгости. В частности, ничего не говорилось ни об областях интегрирования, ни о сходимости интеграла (11.15). Установив соотношение (11.9), мы готовы вернуться к представлению (11.1). Внося под интеграл (11.1) выражение (11.9) и изменяя порядок интегрирования, получаем
где
С учетом калибровочной инвариантности лагранжиана отсюда имеем
Итак, вся зависимость функционала Если бы функционал функционал (11.18) зависит от
(или суммой таких членов), где
В этом случае функционал
Третий член справа обращается в нуль, в силу условия (11.21); что касается второго члена, то он также обращается в нуль, поскольку не содержит полюса, который мог бы компенсировать нуль, обусловленный соотношениями (11.19) и (11.20) (такой полюс может возникнуть только за счет единственного
Таким образом, формула (11.16) переходит в соотношение
Коэффициент пропорциональности здесь, хотя и бесконечен (множитель Чтобы дать общее определение функций Грина, мы выберем функционал
Это означает, что мы произвольно выбираем калибровку. Мы не будем доказывать, что функции Грина, определяемые соотношением (11.25), в точности совпадают с получаемыми из функционала Грина не являются калибровочно-инвариантными Возможен и другой подход (указанный первоначально Де Виттом) к квантованию калибровочных полей, при котором стремятся сохранить точную калибровочную инвариантность по отношению к калибровочным преобразованиям классического фонового поля [109, 123]. При этом член, фиксирующий калибровку, зависит от фонового поля. Мы здесь не будем следовать этому подходу.
|
1 |
Оглавление
|