§ 2. Выделение калибровочного объема

Основываясь на методе интегралов по траекториям в применении, скажем, к полю Янга — Миллса, напишем по аналогии с выражением (10.27)

(здесь мы опустили член с но при необходимости его можно восстановить). Символ означает функциональное интегрирование по каждой из компонент подя

(с равным весом). Недостатком представления (11.1) является то, что лагранжиан 2, в силу своей калибровочной инвариантности, не может обеспечить сходимость при интегрировании по любой одной из «орбит» в -пространстве, которые порождаются калибровочными преобразованиями из конкретного значения Поскольку подобная «орбита» неограничена, интеграл (11.1) расходится. Проще всего это можно показать, рассматривая выражение, аналогичное (10.36). Волновой оператор в случае поля Янга — Миллса равен следовательно, не имеет обратного.

Чтобы продолжить далее, мы должны дать определение интегрирования по траекториям в пространстве локальных калибровочных преобразований. Запишем конечное калибровочное преобразование в виде

Пусть инвариантная мера интеграла по траекториям, такая, что (относительно инвариантного интегрирования см. [87, стр. 78; 100, стр. 313])

для любого фиксированного локального калибровочного преобразования Именно это единственное свойство потребуется нам в дальнейшем; в более точном выражении величины нет необходимости.

Для инфинитезимальных калибровочных преобразований мы можем взять

То, что это инвариантный элемент объема, можно показать следующим образом. Пусть задаются инфинитезимальными параметрами и . В первом порядке по

Поскольку производные сюда не входят, достаточно вычислить якобиан в какой-либо одной точке пространства-времени:

Тем самым доказывается инвариантность формы (11.4).

При каждом х интегрирование по проводится по некоторой компактной области (параметризованной, например,

углами Эйлера). Интеграл по берется по бесконечно малому участку, но поскольку этот участок плоский, интегрирование можно распространить на всю область

причем возникнет лишь общий множитель.

Обозначим через образы при конечном и инфинитезимальном калибровочных преобразованиях. Так же как в формуле (11.6), можно установить инвариантность меры в выражении (11.1) относительно инфинитезимальных преобразований:

Инвариантности относительно инфинитезимальных преобразований достаточно, чтобы гарантировать инвариантность относительно конечных преобразований:

Теперь мы можем вернуться к нашей главной задаче и попытаться ввести в выражение (11.1) множитель, обеспечивающий сходимость. Предположим, что мы могли бы найти функционал обладающий свойством

где произвольная постоянная. Тогда, как будет показано ниже, экспонента в выражении (11.9) обеспечит сходимость, причем она будет действовать подобно члену (4.10), фиксирующему калибровку. Но сначала мы покажем, как построить функционал

Положим, что функционалы определяются соотношениями

где некоторое поле. Символом обозначена «функциональная -функция Дирака», т. е. произведение обычных -функций, по одной для каждой точки пространства-времени. Величина А не зависит от поля поскольку аргумент -функции линеен по . В действительности А — всего лишь функциональный определитель. Но, в силу равенства (11.8), функционал А удовлетворяет условию

для любого преобразования подобного уравнения для функционала А нет. Два этих функционала связаны соотношением

поскольку при вклад в выражение (11.11) дают лишь инфинитезимальные преобразования

Используя последовательно формулы (1111), (11.12) и (11.13), мы получим цепочку равенств

Требуемое уравнение (11.9) следует из тождества

после подстановки в него соотношения (11.14).

Изложенные выводы лишены строгости. В частности, ничего не говорилось ни об областях интегрирования, ни о сходимости интеграла (11.15).

Установив соотношение (11.9), мы готовы вернуться к представлению (11.1). Внося под интеграл (11.1) выражение (11.9) и изменяя порядок интегрирования, получаем

где

С учетом калибровочной инвариантности лагранжиана отсюда имеем

Итак, вся зависимость функционала от содержится только в члене с источником.

Если бы функционал не зависел от то нам удалось бы сконцентрировать расходимость интеграла (11.1) в интегрировании по в выражении (11.16). Поскольку же

функционал (11.18) зависит от это не так. Предположим на минуту, что мы используем только для вычисления -матричных элементов. Тогда, согласно соотношению (10.41), мы заменим в выражении (11.18) величиной

(или суммой таких членов), где

В этом случае функционал не зависит от Чтобы продемонстрировать это, возьмем сначала инфинитезимальные преобразования

Третий член справа обращается в нуль, в силу условия (11.21); что касается второго члена, то он также обращается в нуль, поскольку не содержит полюса, который мог бы компенсировать нуль, обусловленный соотношениями (11.19) и (11.20) (такой полюс может возникнуть только за счет единственного -пропагатора, выходящего из источника Итак, величина инвариантна относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований, а потому и относительно конечных преобразований. Мы доказали, что

Таким образом, формула (11.16) переходит в соотношение

Коэффициент пропорциональности здесь, хотя и бесконечен (множитель для каждой точки пространства-времени), но безобиден. Следовательно, для -матричных элементов бесконечность изолирована в выражении (11.16).

Чтобы дать общее определение функций Грина, мы выберем функционал

Это означает, что мы произвольно выбираем калибровку. Мы не будем доказывать, что функции Грина, определяемые соотношением (11.25), в точности совпадают с получаемыми из функционала Определенные таким образом, функции

Грина не являются калибровочно-инвариантными в частности, зависят от значения в представлении (11.18).

Возможен и другой подход (указанный первоначально Де Виттом) к квантованию калибровочных полей, при котором стремятся сохранить точную калибровочную инвариантность по отношению к калибровочным преобразованиям классического фонового поля [109, 123]. При этом член, фиксирующий калибровку, зависит от фонового поля. Мы здесь не будем следовать этому подходу.