§ 5. Обобщение

Все сказанное в предыдущих параграфах можно без труда распространить на другие калибровочные теории. Анализ общего случая весьма полезен и не составляет труда. Мы просто отметим наиболее важные результаты.

Обозначим все вместе взятые поля символом где индекс а соответствует различным полям и различным компонентам каждого из полей (будь они скалярные, спинорные или векторные). Инфинитезимальные калибровочные преобразования имеют следующую общую форму:

где может быть дифференциальным оператором. Для того чтобы преобразования (11.34) являлись инфинитезимальными преобразованиями группы Ли они должны удовлетворять условию

где

(в обозначениях гл. 6, § 5). Это условие требует, чтобы выполнялись равенства

Пусть фиксирующий калибровку член, соответствующий общей форме третьего члена выражения (11.30), имеет вид

где в общем случае тоже некоторый дифференциальный оператор можно добавить члены, квадратичные по полю но мы ограничимся более простой формой (11.39)].

При таких определениях плотность шпурионного лагранжиана, обобщающую последние члены выражения (11.30), можно представить в виде

Если порядок группы равен то, вообще говоря, возникает пар шпурионных полей (хотя некоторые из них могут быть свободными полями).

Все эти общие уравнения можно применить к модели Вейнберга-Салама, о которой говорилось в гл. 8. Соответствующая форма преобразований (11.34) находится из формул (4.21) и (8.22), а величину (11.40) можно найти исходя из представления (8.34) [мы будем пользоваться первым из выражений (8.34)]. Вводя для упрощения обозначения

мы получаем, что шпурионный лагранжиан равен —

Поля, ортогональные полям (11.41), — это шпурионы, соответствующие фотону. В выражении (11.42) эти поля не свободные, поскольку первый член взаимодействия содержит Появление у фотона нетривиальных шпурионов связано с тем, что член (8.34) выбран неинвариантным относительно электромагнитных калибровочных преобразований. Его можно было бы выбрать инвариантным, но тогда мы нарушили бы полную -симметрию даже при