§ 3. Теория возмущений

Предположим, что плотность лагранжиана имеет вид и член мы рассматриваем как возмущение. Напишем

Тогда выражение (10.27) можно представить в виде

где

Если функционал квадратичен по полю то можно вычислить в явном виде. Ряд теории возмущений получим, разложив экспоненту в представлении (10.32). Пусть, например,

Тогда интеграл по траекториям в выражении (10.33) можно взять по аналогии с обычным многократным интегралом

в котором действительная симметричная матрица, а член с обеспечивает сходимость (этот интеграл можно вычислить путем диагонализации матрицы А). Подставляя формулу (10.34) в интеграл (10.33) и сравнивая полученное выражение с формулой (10.35), заключаем, что

Обратный оператор находится путем преобразования Фурье:

где

Благодаря наличию члена с в качестве оператора, обратного оператору Клейна — Гордона отбирается вполне определенная функция Грина, а именно фейнмановская функция

Теперь нам ясно, что выражения (10.32), (10.37) и (10.38), вместе взятые, воспроизводят обычную теорию возмущений Фейнмана, причем вершины диаграмм определяются структурой оператора в формуле (10.32). Для любого поля интеграл по траекториям в порождает обратный волновой оператор поля. Таким путем можно получить пропагатор (2.26). В случае же калибровочных полей волновой оператор сингулярен (так как может быть сведен к нулю соответствующей градиентной добавкой к полю) и, следовательно, не имеет обратного. Поэтому изложенную выше процедуру нужно изменить.

В связи с этим отметим одно полезное правило: вклад в функционал X диаграммы с I независимыми замкнутыми циклами пропорционален Действительно, мы видим, что

Согласно представлению (10.32), каждая вершина дает множитель каждая линия в соответствии с формулой (10.37) дает множитель и один множитель возникает из определения (10.29).