Глава 14. Перенормировка в калибровочных теориях

§ 1. Перенормировка

О перенормировке говорится почти во всех учебниках по квантовой теории поля, например в учебниках Бьёркена и Дрелла [34] или Боголюбова и Ширкова [36]. В рамках размерной регуляризации данный вопрос был пересмотрен Хоофтом и Велтманом [195]. В этом параграфе мы кратко изложим основные моменты.

Прежде всего следует различать перенормированное действие и «затравочное» действие Мы будем, как правило, выражать каждое из них через перенормированные поля но действие содержит перенормированные массы и константы связи тогда как в действие входят «затравочные» Перенормированное поле — это поле, которое обладает тем свойством, что матричный элемент

конечен. Величины конечны, а величины вообще говоря, бесконечны [т. е. при размерной регуляризации они содержат полюсные члены с Иногда вводится «затравочное» поле

которое удовлетворяет каноническим одновременным коммутационным соотношениям. Величина в общем случае бесконечна. Разность «затравочного» и перенормированного действий называется контрчлеками, так что

Истинным действием теории является «затравочное» действие Фундаментальный результат теории перенормировок заключается в том, что вычисления с при которых все бесконечные части (определенные в гл. 13, § 2 как полюсные члены в разложении около точки отбрасываются, дают правильные -матричные элементы. Это означает, что контрчлены в точности погашают бесконечные части, по мере того как они возникают от порядка к порядку в теории возмущений.

В некоторых случаях удобнее более конкретное определение действия Например, в электродинамике можно определить перенормированный заряд так, чтобы в пределе нулевого импульса фотонов борновское приближение для комптоновского рассеяния становилось точным. В этом случае дополнительно к полюсному члену с контрчлен должен содержать некоторую конечную константу. Такое определение заряда может быть использовано в модели Вейнберга — Салама [171].

Фиг. 21. Перенормировка. а — в порядке , б - в порядке .

Однако в последующем мы будем определять контрчлены именно как бесконечные части (за единственным исключением, о котором будет упомянуто в § 5).

Контрчлены могут представляться вершинами с двумя, тремя и четырьмя внешними линиями. Вершины с двумя внешними линиями соответствуют перенормировке массы и перенормировке полей [с множителем в формуле (14.1)]. На фиг. 21 мы изобразили контрчлены черными кружками, где означает член порядка Графические уравнения могут служить примером соотношений перенормировки. Интеграл по в третьей диаграмме на фиг. 21,б оказывается конечным за счет контрчлена во второй диаграмме, а остающийся интеграл по становится конечным после учета контрчлена с В случае трех последних диаграмм дело обстоит иначе. Если, например, в шестой диаграмме выполнить сначала интегрирование по (этот выбор произволен), то интеграл окажется конечным при учете четвертой диаграммы.

Но для того чтобы сделать конечным интеграл по требуется не только пятая, а и первая диаграмма. Это так называемое явление перекрывающихся расходимостей. Данная процедура довольно просто объясняется в работе Хоофта и Велтмана [195].

Лагранжиан перенормируем при условии, что не содержит констант связи с размерностью где и что при больших бозонный пропагатор ведет себя как а фермионный пропагатор — как Эти условия гарантируют нам, что при возрастании порядка теории возмущений число различных типов расходящихся интегралов не будет расти до бесконечности.

Теперь мы постараемся несколько подробнее разобрать, как производится перенормировка. Исходя из действие определяют от порядка к порядку разложением по степеням (т. е. согласно сказанному в гл. 10, § 3, разложением по числу независимых замкнутых циклов в диаграммах). Таким образом, в порядке

(для краткости мы временно обозначаем одним символом все константы связи и массы). В частности,

Каждое интегрирование (одно на замкнутый цикл) в худшем случае может привести к одной степени по этой причине в выражении (14.3). Аналогично в каждом порядке определяется соответствующее значение «затравочного» действия причем

Процедура получения из заключается в следующем. Пусть функционал есть производящий функционал для сильно связных функций (гл. 10, § 4), вычисленный на основе и включающий члены вплоть до порядка В частности,

По предположению функционал конечен при но содержит полюсные члены. Фундаментальный результат теории перенормировок, который мы здесь не будем

доказывать, состоит в том, что (если, конечно, 5 — перенормируемое действие) полюсные члены в имеют форму, при которой они могут быть погашены контрчленами в выражении (14.2). [Данное утверждение нетривиально: например, диаграмма фиг. 21,б может содержать член, пропорциональный

который нельзя компенсировать никаким локальным контрчленом]. Допуская справедливость этого результата, мы положим

где под расходящейся частью подразумеваются члены отрицательных степеней в разложении Лорана по (гл. 13, § 2). Тогда по построению величина

конечна.

Заканчивая данный параграф, отметим два специальных свойства процедуры перенормировки в рамках размерной регуляризации.

а. Разобьем перенормированное действие на часть содержащую только безразмерные константы связи и часть содержащую массы (квадраты масс в случае бозонов) и размерные константы связи (между тремя бозонными полями):

Точно так же разобьем «затравочное» действие:

Тогда каждая из констант зависит лишь от и от [величина была введена в формуле (13.9)]. Величины или также представляются полиномами по с коэффициентами, которые зависят от Это было доказано Коллинзом [46].

б. Если действие инвариантно относительно глобальных преобразований некоторой группы симметрии, то то же самое справедливо и для В самом деле, рассмотрим случай, когда Согласно свойству это не изменяет действия которое, таким образом, обладает глобальной симметрией. Обратное также справедливо.