Глава 5. Спонтанное нарушение симметрии
§ 1. Симметрии в бесконечных системах
В предыдущей главе мы занимались теорией полей Янга — Миллса, поскольку нам хотелось, чтобы слабые взаимодействия осуществлялись посредством заряженных частиц со спином 1 и поскольку мы пытались перенести и обобщить на случай слабых взаимодействий калибровочную инвариантность электродинамики. В рассмотренной формулировке теория Янга — Миллса определенно не подходит для этого, так как все ее частицы со спином 1 не имеют массы. Можно ли каким-либо образом наделить эти частицы массой, сохранив при этом (в некотором смысле) калибровочную инвариантность? Один из способов получения несимметричных решений в симметричной теории — так называемое «спонтанное нарушение» симметрий. (Термин принадлежит Бейкеру и Глэшоу [22].)
Предположим, что лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы преобразований 
Тогда имеются две альтернативы: либо существует единственное состояние с минимальной энергией (основное состояние), и тогда оно должно быть синглетом относительно группы 
либо может существовать вырожденное множество состояний с минимальной энергией, которые преобразуются относительно группы 
как члены мультиплета. Говорят, что симметрия спонтанно нарушена, если в качестве основного состояния системы произвольно выбирается одно из таких состояний.
Первая альтернатива обычно реализуется в квантовой механике систем с конечным числом степеней свободы. Вторая же довольно обычна для многочастичных систем. Простейшим примером может служить ферромагнетик. Его гамильтониан инвариантен относительно вращений, но спины в основном состоянии выстроены в некотором произвольном направлении. Более того, любое вышележащее состояние, получающееся из основного в результате конечного числа возбуждений, обладает такой анизотропией.
Для этого магнит должен быть в принципе бесконечен. В противном случае существовало бы состояние с нулевым угловым моментом, энергия которого была бы меньше, чем
всех остальных. В случае же бесконечной системы момент инерции бесконечен и все состояния вырождены по угловому моменту. С математической точки зрения бесконечный размер системы препятствует существованию такого унитарного оператора, который связывал бы основные состояния с разной ориентацией — они находятся в разных гильбертовых пространствах.
