§ 5. Общий случай неабелевых преобразований

Допустим, что мы решили обобщить все сказанное в данной главе, заменив фазовые преобразования (6.7) неабелевыми калибровочными преобразованиями (как это делается, об этом чуть ниже). Тогда значения констант связи фиксируются раз и навсегда множителем содержащимся в величинах выражения (4.7). Все мультиплеты, с которыми взаимодействует поле должны иметь один и тот же заряд Такой трюк, как в § 4, с устремлением к нулю одного только заряда поля Хиггса, теперь невозможен. В неабелевом случае механизм Хиггса порождает перенормируемую теорию совершенно нового, нетривиального типа, в которой существенную роль играют одна или несколько частиц Хиггса (подобных

Теперь покажем, как можно обобщить модель Хиггса, перейдя к неабелевой группе симметрии [120]. Начнем сразу с общего случая. Хотя это и влечет за собой некоторое усложнение формализма, но принципы при этом становятся более ясными, нежели в некотором частном случае. Общий формализм понадобится нам в гл. 15, однако читатель по желанию может перейти сразу к гл. 7, для которой содержание данного параграфа несущественно.

Мы объединим обобщенную модель Голдстоуна, изложенную в конце гл. 5, § 4, и общий случай полей Янга — Миллса,

рассмотренный в § 3 гл. 4, так чтобы иметь локальную калибровочную инвариантность относительно группы

Формализм гл. 4, § 3 обобщается лишь в одном отношении: теперь группа может быть прямым произведением некоторого числа подгрупп. В этом случае для различных факторгрупп константы связи, вообще говоря, будут различными. Константы связи мы будем обозначать символом величины одинаковы при всех значениях индекса а, соответствующих генераторам одной и той же факторгруппы. Таким образом, мы должны отказаться от обычного правила суммирования по повторяющимся индексам. Вместо этого условимся, что при наличии суммирование по а подразумевается лишь тогда, когда имеются три символа с индексом а.

Плотность полного лагранжиана имеет вид

где величины, определяющиеся выражением (4.23). Лагранжиан (6.24) инвариантен относительно локальных преобразований (мы приводим их в инфинитезимальной форме)

Действительные антисимметричные матрицы удовлетворяют соотношениям коммутации

Потенциал это некоторая инвариантная функция, содержащая члены 2-го, 4-го и, возможно, 3-го порядка по полю

Так же как в гл. 5, мы предположим, что

и положим

Тогда выражение (6.24) дает массовый член для поля

(тильдой обозначена транспонированная матрица) и перекрестный член

Дополнительное слагаемое Хоофта в лагранжиане, фиксирующее калибровку и являющееся обобщением члена (6.17),

погашает величину (6.31) и дает следующий массовый член:

Чтобы лучше выявить механизм нарушения симметрии группы рассмотрим -матрицу

Предположим, что она имеет ранг причем Тогда существуют ортогональные матрицы такие, что

где действительные числа, удовлетворяющие условию

Для нахождения матриц можно потребовать, чтобы матрица диагонализовала симметричную -матрицу

а матрица С диагонализовала симметричную -матрицу

Величины являются ненулевыми собственными значениями каждой из этих двух квадратных матриц. [Для доказательства формулы (6.35) заметим, что векторы при образуют ортогональный набор.]

Теперь произведем замену базиса в пространстве регулярного представления группы а именно введем величину

Аналогично этому заменим базис в пространстве представления, которому принадлежит поле перейдя к величине

(Возможно, что на практике такие преобразования не совсем удобны, но они позволяют более четко выявить структуру теории.)

При таких обозначениях из равенств (6.35) и (6.36) вытекает условие

Отсюда следует, что существует подгруппа группы задаваемая генераторами которая не нарушается условием (6.28). Это так называемая малая группа (Может случиться, что тогда такой малой группы не существует.)

В новом базисе, в силу условия (6.35), массовый член (6.30) принимает вид

демонстрируя тем самым, что поля (6.39) являются собственными состояниями с определенным значением массы.

Поля принадлежат подпространству пространства их представления, которое порождается из действием генераторов группы Эти поля соответствовали бы голдстоуновским частицам, если бы калибровочная симметрия не являлась локальной. Мы назовем их «голдстоунов-скими полями». Ясно, что при преобразованиях (6.25) [с учетом соотношения (6.29)] эти поля преобразуются неоднородно и, следовательно, отдельно от не имеют физического смысла. Формула (6.33) дает для голдстоуновских полей «массовый» член

В заключение заметим, что существуют также поля которые преобразуются однородно относительно преобразований (6.25). Они представляют собой подлинные бесспиновые частицы, которые мы назовем «частицами Хиггса». Уравнение (5.30) принимает вид

или в соответствии с условием (6.35)

Таким образом, члены второго порядка в разложении V равны

что приводит, вообще говоря, к ненулевым массам для хиггсовских частиц. Эта массовая матрица будет положительной при условии, что является истинным минимумом потенциала Если необходимо, массовые члены (6.46) можно диагонализовать некоторым ортогональным преобразованием полей которое не интерферирует с преобразованием (6.35).

Абелевой модели, о которой говорилось в § 2, соответствовали а в этом случае малая группа не существует как таковая. В гл. 8 мы столкнемся с ситуацией, когда и существует однопараметрическая малая группа

Общий анализ нарушения симметрий в рамках теории групп проводится в работе Ли [138].