§ 4. Магнитные монополи

В обычную теорию электромагнетизма магнитные монополи если и могут быть введены, то с большой трудностью [55, 181]. Из-за наличия электромагнитного потенциала магнитный поток через любую замкнутую поверхность должен равняться нулю. - Единственный способ введения

монополя связывается с многозначностью потенциала и его сингулярностью вдоль кривой, идущей к монополю. Такая кривая должна соединять два противоположных монополя или идти от монополя на бесконечность.

Если электромагнитная калибровочная инвариантность является следом спонтанного нарушения некоторой большой группы симметрии, то возникают другие возможности [194]. В качестве примера возьмем группу с полем Янга — Миллса и триплетом скалярных полей Обычно при спонтанном нарушении симметрии выполняется соотношение причем преобразования вращения не нарушаются и отождествляются с электромагнитной калибровочной группой.

По аналогии с выражением (7.4) мы теперь будем искать классическое решение, для которого величина (но не в асимптотике является константой, а ковариантная производная обращается в нуль:

Эти условия выполняются при

где константа. Здесь индексом обозначаются пространственные компоненты -вектора, а Греческие и латинские индексы в выражениях (7.10) введены для того, чтобы подчеркнуть устанавливаемую связь между пространством внутренней симметрии и реальным пространством. Очевидно, что любое постоянное вращение из группы внутренней симметрии, примененное к выражениям (7.10), приводит к эквивалентному решению. В этом случае поле не равно нулю, а

Следующий вопрос: как определить электромагнитное поле? Хоофт [194] определяет его следующим образом:

[ковариантная производная определяется соотношением (7.9)]. Если бы поле было постоянным, скажем то эти уравнения свелись бы к виду

[отметим взаимное сокращение квадратичных по частей двух членов в правой части выражения (7.13)]. Но в общем случае соотношение между (7.12) и (7.13) оказывается более сложным:

В нашем примере подстановка асимптотических значений (7.10) в формулы (7.12) и (7.13) дает

Последнее выражение — это выражение для магнитного поля монополя интенсивностью Оно обусловлено не обычным векторным потенциалом, а вторым членом в формуле (7.15). Хоофт оценил массу такого монополя и получил величину порядка

где масса характерного для модели векторного мезона. При выражение (7.17) дает громадную массу порядка

В этой теории магнитный монополь представляет собой точку, в которой меняется на обратное направление локального поля Если рядом с одним монополем располагается другой, то поле асимптотически постоянно во всех направлениях. Оно изменяется лишь вблизи монополей, причем в промежутке между ними его направление противоположно направлению в асимптотике.

Подчеркнем, что и в § 3 и в данном параграфе мы говорили о решениях классических уравнений. Введение таких представлений в квантовую теорию оказывается весьма трудной проблемой.