§ 2. Преобразования Бекки, Руэ и Стора

Для простоты начнем с обычной теории Янга-Миллса. Эффективный лагранжиан можно записать [обобщая формулу (11.30) на случай произвольной группы в виде

где соответствующая ковариантная производная. Как уже говорилось в конце гл. 11, § 3, шпурионный член можно считать истинной частью лагранжиана при условии, что и рассматриваются как фермионные поля.

Классический лагранжиан 3! инвариантен [формула (4.4)] относительно преобразований

Предположим, мы пытаемся отождествить параметры группы в формуле (12.2) со шпурионным полем со в выражении (12.1). Трудность, с которой мы столкнемся при этом, заключается в том, что в левую часть равенства (12.2) входит бозонное поле, а в правую — антикоммутирующее поле. Мы можем обойти трудность, взяв вместо формулы (12.2) равенство

где постоянная антикоммутирующая величина (такая, что которую для удобства можно рассматривать как бесконечно малую.

При преобразовании (12.3) член (12.1), фиксирующий калибровку, изменится на величину

Если определить величину так, чтобы она преобразовалась по закону

то инвариантность будет восстановлена. В обеих частях равенства мы имеем только антиком мутирующие величины.

Наконец, третий член лагранжиана (12.1) не инвариантен относительно преобразований (12.3) и (12.5), поскольку имеем для вариации (суммирования по а нет)

В этих выражениях следует обращать внимание на порядок антикоммутирующих величин. Используя тождество Якоби (4.20) и опять-таки свойство антикоммутативности, можно переписать выражение (12.6) в виде

где

Если теперь считать соотношение (12.8) законом преобразования шпурионного поля то формула (12.7) приводит к равенству

Итак, лагранжиан (12.1) инвариантен относительно совместных преобразований (12.3), (12.5) и (12.8).

Из формулы (12.8) и тождества Якоби имеем

(свойство антикоммутации приводит к циклическим перестановкам членов в тождестве Якоби).

В этих преобразованиях весьма замечательным образом сконцентрирована вся информация о теории. Выражение (12.8) фиксирует группу симметрии, указывая нам структурные константы. Формула (12.3) дает закон преобразования поля. Выражением (12.5) определяется член, фиксирующий калибровку. Уравнение (12.10) представляет собой тождества Якоби в компактной форме.

Еще раз подчеркнем, что свойство антикоммутативности шпурионных полей, введенное в гл. 11, § 3, как некий искусственный прием, в итоге оказалось решающим. Так, например, структурные константы обычно определяются двумя разными инфинитезимальными преобразованиями; в формуле же (12.8) они определяются через одно поле

Приведенные выше преобразования имеют внешнее сходство с открытыми недавно преобразованиями суперсимметрии [214], которые также смешивают бозонные поля с фермионными. Но в суперсимметричных теориях фермионы — это истинные частицы с полуцелым спином, так что, вероятно, указанное сходство не имеет особого значения.