§ 3. Калибровочная инвариантность

В этой и предыдущей главах мы пытались как можно проще объяснить, каким образом высокоэнергетическое поведение борновских членов связано с физическими свойствами частиц со спином 1. Теперь мы должны немного более формально проанализировать уравнения электродинамики. Плотность лагранжиана для взаимодействия электронного поля с электромагнитным -потенциалом имеет вид

Она инвариантна относительно локального калибровочного преобразования

сходного с соотношением Поэтому оператор не определяется однозначно уравнениями движения и, следовательно, не существует единственного пропагатора, т. е. функции Грина уравнения движения для

Чтобы проквантовать теорию, необходимо как-то сделать потенциал однозначным, что требует нарушения калибровочной инвариантности. Для этого можно, например, добавить к лагранжиану (3.20) член, фиксирующий калибровку:

Тогда модифицированное уравнение движения принимает вид

Оператор, обратный дифференциальному оператору в левой части этого уравнения, приводит к пропагатору (в импульсном пространстве)

который по своей форме совпадает с выражением (3.18). Фейнмановской калибровке соответствует равенство а калибровке Ландау — переход к пределу при

Мы не показали здесь, что член (3.22) можно добавить к лагранжиану (3.20) без ущерба для физического содержания теории. Из сказанного выше явствует лишь, что выражение (3.24) для пропагатора согласуется с требованием унитарности. Более полное же изложение вопроса о квантовании калибровочных полей мы отложим до гл. 11.