Глава 4. Поле Янга-Миллса

§ 1. Уравнения поля

Мы видели, что теории заряженных мезонов со спином 1, как правило, неперенормируемы, тогда как квантовая электродинамика перенормируема. Это, возможно, говорит о том, что. для перенормируемости теорий заряженных векторных мезонов очень важна калибровочная инвариантность. Поэтому мы покажем, как можно построить теорию заряженных векторных мезонов, инвариантную относительно локальных калибровочных преобразований [184, 217]. Очевидно, что в такой теории представлены лишь безмассовые частицы со спином 1, и, следовательно, она не может иметь непосредственного физического приложения (по крайней мере в рамках общепринятой теории возмущений). Мы пока что забудем об этом: содержание данной главы окажется в дальнейшем еще одним шагом к построению адекватной физической модели.

Основная идея заключается в том, чтобы обобщить однопараметрическую группу локальных фазовых преобразований в формуле (3.21) на случай более общей группы В частности, будет неабелевой группой, т. е. будет содержать некоммутирующие элементы. Простейшим примером группы может служить группа эквивалентная группе изотопических преобразований в ядерной физике (или, собственно говоря, группе преобразований вращения для состояний со спином Сначала в качестве примера мы рассмотрим группу а потом обобщим рассмотрение на случай произвольной группы. Поскольку эта группа нам хорошо известна, мы иногда будем пользоваться терминами «изотопический», «изоспин», не отождествляя, однако, преобразований с аналогичными в ядерной физике.

Предположим, что оператор, представляющий изотопический дублет [представление группы со спином т. е. это матрица в виде одного столбца с двумя элементами. Легко построить лагранжиан, инвариантный относительно глобального преобразования

в котором показатель экспоненты — всего лишь параметризация некоторой общей унитарной унимодулярной -мат-рицы. Компоненты вектора суть матрицы Паули, а и — произвольный вектор, не зависящий от пространственных и временной координат. Отдельный постоянный множитель написан здесь для соответствия с общепринятыми обозначениями. Впоследствии величина окажется константой связи.

Чтобы обобщить представление (4.1) на случай локальных преобразований, мы будем считать и функцией пространственно-временной точки записывая

Из-за наличия производных оператора лагранжиан, инвариантный относительно преобразования (4.1), в общем случае не будет инвариантен относительно преобразования (4.2). Можно восстановить инвариантность, заменив всюду градиент ковариантной производной

где векторное поле, соответствующее изотопическому триплету. Тогда преобразуется точно так же, как при преобразовании (4.2), если при этом

Практически можно ограничиться случаем бесконечно малых В первом порядке по и соотношение (4.36) перейдет в соотношение

Из соотношения (4.4) явствует двойственная роль поля Неоднородный член показывает, что источником поля является изоспин точно так же, как электромагнитный потенциал, преобразующийся неоднородно при преобразовании (3.21), имеет в качестве источника электрический заряд. Однородный же член указывает на то, что — изовектор, т. е. его кванты, так сказать, сами по себе дают вклад в изоспин. Поэтому, кроме всего прочего, поле должно быть связано с самим собой.

Согласно определению (4.3а), фермионный лагранжиан аналогично выражению (3.20) имеет вид

Чтобы построить лагранжиан поля мы должны найти некий инвариант. Первый шаг состоит в построении антисимметричного тензора в некотором отношении подобного тензору электромагнитного поля, но преобразующегося как истинный изотриплет [без неоднородного члена, возникающего в выражении (4.4)]. Хитрость в том, чтобы потребовать равенства

или

Тогда при преобразовании (4.4) имеем

Соответствующий инвариантный лагранжиан, являющийся обобщением первого члена в формуле (3.20), имеет вид

Тем самым подтверждается, что поле испытывает самодействие. (Во многих отношениях было бы более элегантным выражать все через поле Тогда константа выпала бы из всех формул, кроме формулы (4.9), где она входит в общий множитель. Поскольку такое обозначение редко встречается в литературе, мы им не будем пользоваться.)