Глава 10. Формулировка квантовой механики, основанная на фейнмановских интегралах по траекториям

§ 1. Нерелятивистская квантовая механика

Теперь нам нужно вернуться к вопросу о вычислении эффектов высших порядков в слабых взаимодействиях, тем более, что калибровочные теории предоставляют такую возможность. Квантование теорий, инвариантных относительно локальных калибровочных преобразований, оказывается трудной задачей, поскольку, например, электромагнитный потенциал и поля Янга — Миллса зависят от калибровки и, следовательно, их нельзя простым способом сопоставить истинным динамическим степеням свободы. Самый удобный (по крайней мере с точки зрения ковариантности теории возмущений) метод квантования калибровочных теорий — это метод фейнмановских интегралов по траекториям [68, 105, 146, 167]. В данной главе мы кратко изложим метод интегралов по траекториям, следуя в основном обзорной статье Аберса и Ли [2].

Для простоты рассмотрим сначала систему с одной степенью свободы, характеризуемую динамической переменной канонически сопряженным импульсом (заглавными буквами здесь обозначаются операторы) и гамильтонианом Будем различать представления Шредингера и Гейзенберга индексами операторов и векторов состояний. Тогда (в данной главе мы не будем пользоваться системой единиц, в которой

где а — индекс состояния. В представлении Шредингера состояния часто описываются волновой функцией

где

Величину (10.2) можно также записать в виде

где

и, следовательно,

Дирак сравнивает базис с движущейся системой координатных осей. Функции

характеризуют динамическое развитие любого состояния:

Поэтому мы сосредоточим свое внимание на величинах (10.7).

Разобьем временной интервал на большое число малых отрезков Тогда, в силу условия полноты,

Используя сначала соотношение (10.5), мы имеем

где последнее равенство справедливо, по крайней мере если есть сумма функции переменной и функции переменной [интегрирование по приводит в первом члене просто к и переводит второй член в импульсное представление]. Итак, окончательно выражение (10.10) может быть записано в виде

Тогда формула (10.9) дает

где

Формально выражение (10.12) можно переписать следующим образом:

где символ означает некоторое интегрирование по всем функциям Соотношения (10.13) переходят в равенства

но область интегрирования по неограничена. Заметим, что величины в выражении (10.14) — это классические переменные. Проблемы упорядочения операторов в казалось бы, исчезли в представлении (10.14), но на самом деле они лишь перешли в проблему строгого определения интегралов в выражении (10.14). В частном случае, когда

интегралы по в формуле (10.12) легко берутся, и мы получаем

где коэффициент пропорциональности (формально бесконечный при несуществен. Подобно выражению (10.14), формулу (10.17) можно записать в виде

[и здесь имеет место условие (10.15)]. Хотя выражение (10.14) носит более общий характер, для нас здесь вполне удовлетворительной будет формула (10.18).

В квантовой теории поля соотношения (10.15) не самая удобная форма записи граничных условий. Вместо этого лучше добавить к лагранжиану функцию источника такую, что

где некоторый большой интервал времени. Заменим величиной

Введем функционал от

где вектор основного состояния для системы, определяемой лагранжианом (10.20), в представлении Шредингера. Оказывается, что функционал несет всю нужную нам информацию.

Можно показать [2, 105], что

где любая безразмерная положительная величина. Причина этого состоит в том, что временная зависимость величины при определяется членами

где энергия стационарного состояния системы. В пределе, указанном в выражении (10.22), остается только основное состояние с минимальной энергией

Более удобный способ наложения граничного условия (10.22) заключается в том, что к гамильтониану в формуле (10.14) добавляется малое отрицательное мнимое слагаемое где малая положительная безразмерная величина. Тогда поворот оси времени в комплексной плоскости, который необходим в предельном переходе (10.22), обеспечивается экспонентой

Итак, окончательно мы примем

и тогда величина имеет смысл, указанный в формуле (10.21).

Легко вывести одно важное свойство интеграла по траекториям. Именно:

где символом обозначено хронологическое произведение (раньше — дальше вправо). Произведение появляется в правой части выражения (10.25) по той причине, что величины должны вставляться в правую часть формулы (10.9) во вполне определенные места. Только тогда величины можно заменять операторами

В заключение, исходя из выражений (10.24) и (10.25), мы получим

Здесь основные состояния выделены благодаря члену с в формуле (10.24); после функционального дифференцирования мы положили так что это обычные основные состояния в отсутствие источника