§ 2. Правила Фейнмана для фотонов

Теперь мы можем вернуться к вопросу: почему с фотонами у нас нет тех же неприятностей, что и с массивными частицами со спином 1? Плохое высокоэнергетическое поведение борновских членов было обусловлено наличием состояний с продольной поляризацией, а в случае фотонов их просто не существует. Отсутствие перенормируемости было связано с видом пропагатора (2.26). Чтобы найти аналогичную функцию для фотона, мы можем обратить цепочку выражений (2.26), (2.27), (2.28). Согласно соотношениям (3.5) и (3.7), аналог формулы (2.28) таков:

Это приводит к выражению для пропагатора, аналогичному выражению (2.26):

Такой пропагатор не содержит размерного параметра (подобного а потому теория должна быть перенормируемой.

(Строго говоря, выражение (3.10) для пропагатора верно только в случае пространственно-подобных т. е. при так называемой «аксиальной» калибровке. При кулоновской же калибровке времениподобный вектор и правильный вид пропагатора таков:

в полюсе числитель в фигурных скобках тождествен с

Теперь мы сталкиваемся с другими вопросами: почему физические результаты не изменяются при калибровочных преобразованиях (3.6) начальных и конечных состояний фотонов? Почему физические результаты не зависят от произвольного вектора в выражении Ответ на оба вопроса лежит в тождествах Уорда — Такахаши, которые связаны с

сохранением тока. В общем виде мы рассмотрим эти тождества в гл. 12. Пока же ограничимся лишь краткими замечаниями.

В квантовой теории поля (см., например, книгу Газиоровича [76, стр. 102]) амплитуда процесса, в котором участвуют, например, два фотона, обычно пропорциональна фурье-образу величины

где состояния, которые содержат, кроме двух фотонов, и другие частицы, символ хронологической упорядоченности:

причем при Произведение типа (в котором вектор поляризации заменен соответствующим -импульсом приводит к дивергенции

Первый член в правой части равен нулю в силу сохранения тока. Одновременной коммутатор во втором члене — тот же самый, что и для свободных полей; он равен нулю, по крайней мере если токи построены из полей со спином В случае бозонов к выражению (3.11) должны быть добавлены «ката-строфийческие» члены, которые компенсируют швингеровские члены в коммутаторе [110]. Эти усложнения не меняют фундаментального физического результата

Теперь можно исследовать кажущуюся зависимость выражения (3.9) от Мы хотим показать, что с учетом условия унитарности величину (3.9) можно заменить величиной Для этого возьмем пример, который содержит все существенные моменты. Рассмотрим вклад промежуточных -состоя-ний в процессе рассеяния (фиг. 3). В силу условия унитарности, амплитуды рассеяния должны иметь разрез, связанный с этими промежуточными состояниями. Скачок на этом разрезе получается из диаграммы фиг. 3, если положить, что три внутренние линии представляют физические частицы на массовой поверхности. Поэтому он имеет вид

где оператор, определяемый выражением (3.9), и

Индексы, не относящиеся к внутренним фотонным линиям, опущены.

Для амплитуд в формуле (3.15) мы можем написать выражения, аналогичные выражению (3.11), в которых фотоны в начальном и конечном состояниях и электроны включены в векторы состояний Для нас на данном этапе существенно, что электрон — физическая частица на массовой поверхности, а не виртуальная. Другими словами, мы смотрим на фиг. 3 не как на диаграмму Фейнмана, а как на унитарную диаграмму.

Фиг. 3. Унитарная диаграмма.

Тождества типа (3.14) позволяют произвести в выражении (3.15) замену обеих величин и

где произвольный коэффициент. Наконец, аналитические свойства диаграмм Фейнмана [59] гарантируют нам, что величина (3.15) равна мнимой части диаграммы Фейнмана того же вида, что и диаграмма фиг. 3, в которой пропагатор фотона равен

Итак, без нарушения условия унитарности вместо выражения (3.10) можно взять выражение (3.18). Два важных частных случая выбора величины в формуле (3.18) таковы: фейнма-новская калибровка и поперечная калибровка Ландау

Точно так же на основании условий типа (3.14) доказывается, что амплитуда, содержащая фотон в начальном или конечном состоянии, не изменяется при преобразовании (3.6) или при наличии второго члена в выражении (3.8).

Почему же нельзя путем аналогичных рассуждений устранить нежелательный член в выражении Дело

в том, что для слабых токов даже более того,

поскольку токи заряженные [это можно видеть, например, из формул (2.21) и (2.12)]; поэтому аналог выражения (3.13), конечно, не равен нулю.