§ 3. Общие теории Янга — Миллса

Нетрудно обобщить формализм Янга — Миллса на случай произвольной компактной полупростой группы Ли порядка . В следующих главах нам иногда будет удобнее иметь дело с общим случаем, а не с частным.

Векторные поля принадлежат регулярному представлению группы (т. е. представлению, которому принадлежат генераторы группы). Это могут быть

фермионные поля принадлежащие любому представлению группы в котором генераторы представляются эрмитовыми матрицами К Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

в которых коэффициенты являются структурными константами группы Мы нормируем регулярное представление так, что величина будет полностью антисимметричной (см., например, работы [87, 100]). Она удовлетворяет тождествам Якоби

При таких определениях мы просто должны записать в предыдущих уравнениях вместо вместо Тогда, например, формула (4.4) перейдет в формулу

выражение (4.3а) заменится выражением

а формула (4.7) примет вид

Мы рассмотрели случай поля Янга — Миллса, взаимодействующего с фермионным полем, в качестве примера. Точно так же оно может взаимодействовать с бозонным полем и, конечно, имеет собственное самодействие даже в отсутствие любых других полей.