§ 2. Модель Хиггса

(Подробное изложение принципов, затрагиваемых в данном параграфе, можно найти в работе Бернстейна

Андерсон [12] указал на то, что при наличии дальнодействующих электромагнитных сил теорема Голдстоуна может оказаться в релятивистском случае столь же неприменимой, как и в нерелятивистском (см. также работу [126]). Модель, в которой это очень просто показывается, предложена Хиггсом [106—108] (см. также [62, 96]). Как выяснилось, все заметно упрощается, если заострять внимание не на дальнодействующем характере сил, а на локальной калибровочной инвариантности электромагнетизма (конечно, это две тесно взаимосвязанные стороны). Здесь мы приводим простую абелеву модель Хиггса. Позже мы покажем, что ничего практически ценного эта модель не дает, но она подсказывает нам, как следует строить практически ценные неабелевы модели.

Обобщим калибровочное преобразование (5.4) на локальный случай

подобно тому, как это было сделано в формуле (3.21). (Константа связи введена в выражение (6.7) для соответствия с общепринятыми обозначениями.) Тогда, так же как и в случае (3.20), плотность лагранжиана (5.2) нужно заменить величиной

Действуя точно так же, как в гл. 5, § 2, мы предположим, что

и положим

Выразив величину (6.8) через поле мы увидим, что наряду с другими появляются два следующих члена:

Член (6.11), очевидно, можно (и это оказывается правильным) интерпретировать как выражение того, что «фотон» приобрел массу

[Поскольку — для пространственных компонент знак члена (6.11) - правильный.] Здесь полная аналогия с формулой (6.6).

Интерпретация же члена (6.12) менее очевидна. В нем смешиваются оба поля и чем затемняется физический смысл каждого из них. Чтобы прояснить роль поля мы перепишем калибровочное преобразование (6.7), перейдя к полям и При бесконечно малых со это дает

Таким образом, поле как и потенциал преобразуется неоднородно. По этой причине ни поле ни поле взятое отдельно, не может иметь прямого физического смысла.

Проще всего, по-видимому, воспользовавшись калибровочной свободой, положить

Этим условием фиксируется калибровка [так же как условием (3.7) фиксируется калибровка поля Тогда перекрестный член (6.12) обращается в нуль. Оказывается, что в такой модели не существует голдстоуновского бозона (а мы ожидали, что именно поле соответствует ему). Теперь физический смысл становится ясным: мы имеем обычный массивный векторный мезон и массивное нейтральное скалярное поле массой так же как в выражении Их взаимодействие имеет специфическую форму

но более ничего примечательного в них нет. В частности, пропагатор для соответствующий лагранжиану (6.8) и (6.11), совпадает с обычным пропагатором (2.26).

Мы избавились от двух безмассовых частиц: «фотон» приобрел массу, а голдстоуновского бозона не стало. Полное же число свободных одночастичных состояний не изменилось. В исходном лагранжиане (6.8) было две частицы со спином и безмассовый фотон со спином 1, имеющий два состояния поляризации — итого четыре состояния. После нарушения симметрии мы получили одну частицу со спином и массивный мезон со спином 1, имеющий три состояния поляризации, — всего четыре. Мы как бы обменяли голдстоуновский бозон на состояние векторного мезона с продольной поляризацией.