§ 2. Магнитный момент мюона

Чисто электромагнитное предсказание для аномального магнитного момента мюона таково:

тогда как эксперимент дает значение

По данным расчетов адронные вклады [которые, однако, зависят от предположений относительно отношения (13.43)] должны быть меньше Согласно сказанному в § 1, вклад слабых взаимодействий должен быть порядка

Однако логарифмический множитель

может в принципе сделать значительной поправку (16.8), а поэтому необходимы более тщательные вычисления.

Соответствующие диаграммы изображены на фиг. 27; здесь а — чисто электромагнитная диаграмма, которая приводит к значению (16.6).

Фиг. 27. Диаграммы, дающие вклад в магнитный момент мюона.

Сплошная прямая линия — лептоны, прерывистая линия — ноля Хиггса, волнистая линия — векторные поля.

Для пропагатора (6.19) мы воспользуемся калибровкой Первоначально каждая из диаграмм расходится логарифмически, но если выделить часть, пропорциональную члену, который содержит магнитный момент

(и — мюонный спинор), то она будет сходящейся. Поэтому проблема перенормировки не должна нас беспокоить.

Диаграмма имеет две линии и поэтому, согласно формуле (16.5), не приводит к логарифмическому множителю (16.9). Диаграмма включает в себя вклады хиггсовской частицы х и голдстоуновских полей В последнем случае константы связи с мюонами, как следует из выражения (8.28), пропорциональны

[формулы (8.30) и (8.31)], поэтому вклад диаграммы раз меньше вклада диаграммы в. В случае диаграммы, содержащей хиггсовскую частицу, в пропагаторы входит масса а не и поэтому полный вклад отличается от вклада диаграммы в множителем . О массе почти ничего неизвестно (гл. 9, § 5), но даже если бы она была меньше массы вклад диаграммы с хиггсовской частицей был бы того же порядка, что и вклад диаграммы в [113].

Заранее не очевидно, имеет ли существенная в данном случае диаграмма в логарифмический множитель. Мы рассмотрим эту диаграмму более подробно. При вычислении магнитного момента следует учесть, что между векторной и аксиальной частями -тока (8.14) не может быть интерференции (такая интерференция привела бы к появлению электрического дипольного момента, что противоречило бы инвариантности относительно обращения времени).

Рассмотрим сначала вклад аксиального тока, для которого соответствующая часть выражения (8.14) равна

Интеграл Фейнмана запишется в виде

Числитель подынтегрального выражения упрощается следующим образом:

а знаменатель можно представить как

Вводя

и выполняя интегрирование по получаем

где

Учитывая тождество

и пренебрегая опять членами, пропорциональными заменим (16.15) выражением

[член с при интегрировании дает нулевой вклад].

Для аномального магнитного момента мы полагаем в формуле Выражение (16.14) можно заменить приближенным, считая при этом из-за наличия в формуле (16.17) множителя в точке 1 расходимость не возникает. Это приводит к вкладу в равному

Вклад векторной связи -частицы равен

С учетом вкладов (16.18), (16.19) и вклада -мезона, обусловленного диаграммой фиг. 27, б, полный результат для оказывается таким [113]:

по порядку величины он равен следовательно, пренебрежимо мал по сравнению с (16.6) и (16.7). Важно что благодаря наличию множителя в формуле (16.17) не возникает логарифма типа (16.3).

Проведенные выше расчеты возможны и в случае электрона. В этом случае экспериментальное значение на два

порядка точнее, чем (16.7). Но поправки на слабые взаимодействия в

раз меньше величины (16.20) и, следовательно, несущественны.