§ 2. Правила для размерной регуляризации

Теории, в которых имеются скалярные, векторные и дираковские поля, можно следующим образом сформулировать для случая измерений (первоначально считаем четным целым числом; позже можно прибегнуть к аналитическому продолжению). Каждый векторный индекс пробегает значения от до Метрический тензор определяется соотношениями

так что

Дираковские у-матрицы удовлетворяют условиям

Все вычисления с дираковскими матрицами и спинорами можно свести к операциям с матричными произведениями, используя соотношение (13.3), и вычислению следов матриц по формуле (13.4). Зависимость от содержится только в выражениях (13.2) и (13.4). В принципе требуется знать и [конечный вклад величины но на практике это не очень важно, поскольку тождества Уорда — Такахаши лишь связывают диаграммы с равным числом фермионных петель [195]. Величину можно включить в константы перенормировок.

Локальная калибровочная инвариантность относительно преобразований группы внутренней симметрии переносится и на случай измерений, так что тождества Уорда — Такахаши применимы при любом (относительно -симметрии см. § 4).

Действие

должно быть безразмерным (в системе, в которой ; в соответствии с этим должны устанавливаться размерности полей. Так, бозонные поля имеют размерность

а фермионные —

Константа связи, которая безразмерна в случае четырех измерений, перестает быть такой в случае измерений. В частности, константа типа электрического заряда или констант связи из гл. 8 имеет размерность

Иногда для удобства вводят безразмерную константу

где произвольная единица массы.

Если рассматривать фейнмановский интеграл обычным методом (вводя параметры Фейнмана), то возникает лишь единственный тип интеграла в импульсном пространстве:

где фиксированный -импульс, функция фиксированных -импульсов, масс и фейнмановских параметров. При интеграл сходится. Сдвинув начало интегрирования и повернув контур на 90° против часовой стрелки, получим евклидов интеграл

Площадь поверхности единичной гиперсферы в пространстве измерений равна [195]

а поэтому интеграл (13.11) можно представить в виде

Другие интегралы, содержащие в числителе можно получить, дифференцируя по интеграл (13.10).

Выражение (13.13) выведено при Аналитическое продолжение его имеет полюса в точках Полюса при соответствуют «расходимостям» интеграла. Если разложить (13.13) в ряд Лорана по степеням то расходящуюся часть можно положить равной члену с а сходящуюся — члену с Таким образом, при формула (13.13) дает

Перенормировка проводится так, чтобы компенсировать члены с поэтому после нее можно выполнить предельный переход

При указанном выше определении расходящейся части она содержит произвольную конечную постоянную, но такое определение — весьма простое и удобное; мы примем его в следующей главе.

Изложенные правила имеют довольно удивительное следствие:

Данное условие, по-видимому, не приводит к какому-либо противоречию в рамках размерной регуляризации [43, 158]. Однако, строго говоря, нет такого значения при котором интеграл (13.15) сходился бы.

Размерная регуляризация применялась также в случае инфракрасных расходимостей [77].