§ 3. Калибровки Хоофта

На поверхностный взгляд, модель, о которой говорилось в § 2, не представляет ценности, поскольку, как уже объяснялось в гл. 2, § 3 пропагатор (2.26) обычно приводит к неперенормируемости модели.

Значит, спонтанным нарушением симметрии испорчена перенормируемость исходного лагранжиана Вейнберг [202] и Салам [173] высказали предложение, что это не так; позднее Хоофт [191] доказал, что это действительно не так. Самым важным открытием Хоофта было то, что несмотря на простоту калибровки (6.15), выгоднее принять калибровку более общего вида. Велтман говорил, что здесь примерно так же, как в теории функций бывает выгоднее перейти от действительной переменной к комплексной.

Калибровки Хоофта определяются дополнительным членом в лагранжиане, который является обобщением выражений (3.22) или (4.10). В случае модели, о которой говорилось

в § 2, член, фиксирующий калибровку, выглядит следующим образом:

где параметр, которым определяется конкретная калибровка. Величина выбрана для удобства так, чтобы погасить неприятный перекрестный член (6.12). Пропагатор векторного мезона, соответствующий выражениям (6.8), (6.11) и (6.17), обратен величине

Выразив ее через проекционные операторы, мы получим

и тогда обратная величина будет иметь вид

или

Согласно формуле (6.17), поле приобретает массу, а пропагатор его равен

Простой подсчет степени показывает, что пропагатор (6.19) должен приводить к перенормируемой теории при любом конечном значении Как уже отмечалось, по отдельности поля и не имеют физического смысла. В частности, нефизическими являются и полюсы в выражениях (6.19) и (6.20) при которые взаимно погашаются в любом -матричном элементе (именно поэтому мы не определяем правила их обхода путем добавления в знаменатель пропагатора мнимой величины или с помощью какого-либо другого рецепта).

Отметим некоторые конкретные значения . При мы приходим к фейнмановской калибровке, подобной той, что часто используется в электродинамике. Значение соответствует калибровке Ландау, в которой числитель выражения (6.19) является оператором проектирования на состояния с ноперечной поляризацией. При величина (6.19) переходит в обычный пропагатор (2.26), который, очевидно, ведет к нёперенормируемости модели, причем пропагатор поля стремится к нулю, подтверждая тем самым, что эффективно это поле выпадает из фейнмановских интегралов.

Итак, ситуация такова. Калибровки с конечными значениями совершенно очевидно, обеспечивают перенормируемость модели, но они сложны, поскольку для описания трех спиновых состояний, векторной частицы используются пять полей Калибровку легко интерпретировать физически, но она, очевидно, не обеспечивает перенормируемости. Такую калибровку часто называют унитарной. Калибровочная инвариантность призвана гарантировать независимость матричных элементов -матрицы (но, вообще говоря, не функций Грина) от поэтому можно использовать преимущества обоих типов калибровки. На практике, вероятно, удобнее работать с перенормируемой калибровкой (скажем, или 0), при которой применимы все обычные методы перенормируемой теории. Поскольку элементы -матрицы не зависят от они будут унитарными и будут иметь физический смысл. Чтобы обеспечить независимость от необходима точная калибровочная инвариантность.

Для описания состояния поляризации входящей или выходящей частицы со спином 1 мы должны поставить в соответствие пяти полям некую волновую функцию. Проще всего выбрать ее в виде

где обычный вектор поперечной поляризации. Калибровочная инвариантность относительно преобразований (3.6) и (6.14) позволяет нам заменить величину (6.21) величиной

где — произвольное число. Волновые функции (6.21) и (6.22) описывают одно и то же физическое состояние.