§ 3. Аномалии

Существует два важных класса симметрий (или приближенных симметрий), которые нарушаются размерной регуляризацией, иными словами лагранжиан обладает такой симметрией при но невозможно найти лагранжиан, обладающий ею при К первому классу относятся -симметрии, а ко второму — симметрии относительно растяжений (связанных с переопределением масштаба длин; вообще говоря, в этот класс входит и конформная симметрия).

Почему размерная регуляризация портит инвариантность относительно растяжений, нетрудно понять. В случае четырех измерений лагранжиан с безразмерными константами связи, не содержащий масс, формально инвариантен относительно масштабных преобразований. В случае же измерений константы перестают быть безразмерными [формула (13.8)] и нарушают масштабную инвариантность. Что касается -симметрий, то проблема заключается в том, чтобы найти подходящее обобщение на случай измерений. Вскоре мы к этому вернемся.

Предположим теперь, что симметрия одного из этих типов ассоциируется с некоторым током Нётер (где а означает внутренний или лоренцев индексы), который сохраняется в случае четырех измерений, но не сохраняется в случае измерений. (Вообще говоря, дивергенция тока в четырехмерном случае может быть известным оператором с конечными

матричными элементами). Тогда

где некоторый оператор. Взяв матричные элементы от обеих частей, получим

Трудность здесь в том, что матричный элемент вычисленный по теории возмущений, может быть расходящимся; при этом в нем содержится полюсный член подобный такому же члену в формуле (13.14). Тогда в пределе при правая часть выражения (13.17) принимает конечное, отличное нуля значение. Таким образом, ожидаемое тождество — равенство нулю левой части выражения -оказывается неправильным. Это и есть так называемая аномалия.

В случае инвариантности относительно растяжений следует признать, что инвариантность лагранжиана, не зависящего от каких-либо масштабов, лишь кажущаяся. Именно это обстоятельство служит основой уравнения Каллана — Симанзика, которым определяется асимптотическое поведение (гл. 18, § 5). Точно так же аномалии портят некоторые кажущиеся следствия из -инвариантности. Если бы их не было, теория мягких пионов (гл. 5, § 5) предсказывала бы слишком малую вероятность распада (§ 4).

Но -аномалии совершенно нежелательны для калибровочных теорий. Как неоднократно подчеркивалось, обобщенные тождества Уорда — Такахаши очень важны для того, чтобы теории имели физический смысл. В то же время слабые взаимодействия требуют введения аксиально-векторных токов; таким образом, вообще говоря, всегда должны присутствовать -аномалии, нарушающие тождества в фактических расчетах. Поэтому остановимся подробнее на -анома-лиях, чтобы выяснить, что с ними можно сделать.