§ 4. Однопетлевые вклады в эффективный потенциал

Чтобы исследовать далее возможности, о которых говорилось выше, мы должны научиться вычислять эффективный потенциал по крайней мере в порядке Для большей простоты мы исключим из рассмотрения фермионные поля.

Проблему представляет выбор члена, фиксирующего калибровку. Калибровочные члены Хоофта (6.32) и (8.34) оказываются неудобными по ряду взаимосвязанных причин.

а. Они содержат ту самую величину которую мы используем при вычислении потенциала Поэтому эффективный потенциал становится функцией зеличины а условие (14.47), исключающее диаграммы-«головастики», переходит в условие

б. Вообще говоря, функция не инвариантна относительно преобразований группы, действующих только на поле в том случае, когда исходное представление имеет самый общий вид, поскольку фиксирующий калибровку член нарушает эту инвариантность. [Функция должна быть инвариантной относительно некоторой реализации группы действующей на поле поскольку производящий функционал а следовательно, и потенциал удовлетворяют тождествам Уорда (12.27) и (12.28). Но закон преобразования может включать величину F и не совпадать с первоначальным.]

в. Фиксирующий калибровку член в форме Хоофта добавляет к лагранжиану функцию поля При этом не ясно, следует ли ее относить к потенциалу при минимизации функции

По этим причинам оказывается, что гораздо проще отказаться от калибровок Хоофта и взять вместо них

фиксирующий калибровку член вида

В этом случае смешанные члены не сокращаются. Не представляет труда диагонализовать квадратичные смешанные члены лагранжиана, но в действительности при вычислении потенциала можно работать не с полем а с исходным полем

Фиг. 26. Диаграммы, дающие вклад в эффективный потенциал.

Прямые линии соответствуют полю Хиггса, а волнистые — векторному полю.

Какие простые диаграммы с замкнутым циклом можно себе представить? В калибровках (15.17) замкнутые шпурионные циклы не дают вклада в потенциал поскольку поле не входит в шпурионный лагранжиан (11.40). Предположение об инвариантности относительно замены приведет к тому, что останутся лишь, вершины с четным числом линий Далее мы будем различать три типа циклов, показанных для примера на фиг. 26, где ровными линиями представлены пропагаторы поля а волнистыми — пропагаторы поля Циклы типа а содержат только линии тогда как циклы типа б - только линии Все смешанные циклы мы включили в тип в.

Диаграммы типа а возникают за счет члена лагранжиана и, следовательно, инвариантны относительно преобразований более широкой группы Они не имеют отношения к расчету -нарушения, и ими можно пренебречь. Если ограничиться случаем калибровки Ландау в формуле (15.17)], то все диаграммы типа в обратятся в нуль. Это объясняется тем, что вершины дают множитель (импульс цикла), который, сворачиваясь с поперечным пропагатором в формуле (6.19)], дает нуль. Результат для остающихся диаграмм типа в действительности оказывается тем же, что и в том случае, когда мы переходим в выражении Хоофта (6.32) к калибровке Ландау,

Вычислим теперь сумму всех диаграмм типа на фиг. 26. Мы рассмотрим общий случай гл. 6, § 5, поскольку он не сложнее частного случая модели гл. 15, § 3. Вершины определяются членом

а пропагатор — членом

Поскольку мы имеем дело с полем а не данный пропагатор не содержит массового члена. Если положить в формуле (15.18), то члены формулы (15.18) при суммировании по всем циклам приведут к массам в знаменателях.

При данных определениях сумма по всем циклам типа представляется в виде

В этих выражениях символ подразумевает суммирование по лоренцевским и индексам. Комбинаторный множитель возникает из-за циклических перестановок вершин вокруг цикла, не изменяющих цикла.

В каждом из рядов в формуле (15.20) можно выполнить обычный поворот Вика в комплексной плоскости на 90° против часовой стрелки. Тогда окончательно формула (15.20) примет вид

Так же как и первые два члена разложения в формуле (15.20), этот интеграл расходится. Интегрирование в формуле (15.21) до верхнего предела дает

Константы в выражении (15.22) расходятся при но поскольку они умножаются на члены четвертой или меньшей степеней по полю них такая же структура, как и у функции Они не нарушают симметрии группы Таким образом,

где матрица, которая определяется соотношением (15.18). След можно вычислить, приведя матрицу к диагональному виду.

Формула (15.23) была выведена Вейнбергом [207]. Вопрос об эффективном потенциале в общем виде рассмотрен в работе Джекива [111].

В заключение еще раз кратко остановимся на частном случае модели, о которой говорилось в гл. 15, § 3. Установлено [45], что потенциал как функция параметра у, введенного в формуле (15.14), имеет единственный минимум при Существование стационарной точки при данном конкретном значении вакуумного среднего [удовлетворяющего условию (15.12)] гарантируется общей теоремой [147]. По всей видимости, нет причин, по которым не могли бы существовать и другие, более интересные точки минимума. Но, к сожалению, по крайней мере в данной модели этого нет.