§ 5. Пример

Мы приведем простой пример применения тождеств (12.28) и (12.27), а именно в приложении к функции собственной энергии.

Дифференцируя тождество (12.27) по и полагая затем все источники равными нулю, получаем

Поскольку шпурионные линии нигде не оканчиваются, других членов не будет, причем функционал должен дифференцироваться по крайней мере один раз по , а по крайней мере дважды (при условии, что источники должны полагаться равными нулю). Аналогично тождество (12.28) дает

где снова после дифференцирования все источники полагаются равными нулю.

Член с в выражении (12.29) соответствует переходу поля в вакуум. Как будет показано в гл. 14, § 5, мы можем определить поля так, что этот член обратится в нуль.

Напишем два последних равенства в более развернутой форме, введя обозначение

где поля Хиггса (если необходимо, в набор полей могут быть включены фермионы). В этих обозначениях

так как член, фиксирующий калибровку, выбирается в виде

Равенство (12.29) перепишется следующим образом:

а равенство (12.30) примет вид

В этих равенствах функции собственной энергии векторных мезонов, полей Хиггса и шпуриона, а смешанная функция собственной энергии. Все эти величины связываются со вспомогательными функциями Поскольку производная

должна иметь вид в выражениях (12.34) и (12.35) присутствуют лишь продольные части собственной энергии и смешанной функции

Предыдущие равенства упрощаются, если нет спонтанного нарушения симметрии. В этом случае величина -равна нулю (по крайней мере если лагранжиан инвариантен относительно замены таким образом, уравнение (12.34) означает лишь, что оператор собственной энергии поля поперечен.