Глава 6. Спонтанное нарушение локальных калибровочных симметрии

§ 1. Нерелятивистские примеры

В гл. 4 мы отмечали, что неабелевы локальные калибровочные теории не имеют простого приложения в физике, так как они требуют слишком большого числа безмассовых частиц со спином 1 (или же к ним неприменима обычная теория возмущений). В гл. 5 мы показали, что спонтанное нарушение глобальной симметрии влечет за собой появление безмассовых квантов со спином 0, которые также в физике элементарных частиц не наблюдаются. Самое удивительное заключается в том, что спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии позволяет одновременно устранить обе эти трудности. Оказывается, что частицы со спином 1 можно наделить массой и при этом голдстоуновские поля не будут соответствовать частицам со спином 0.

Сначала напомним, как это получается в случае нерелятивистской теории многих частиц. В гл. 5, § 1, мы объяснили с точки зрения физики, почему с ростом волнового числа частота спиновых волн в ферромагнетике стремится к нулю. Объяснение основывалось на отсутствии дальнодействующих сил между спинами. Но впервые внимание физиков, работавших в области физики элементарных частиц [153, 156], привлек пример не ферромагнетизма, а сверхпроводимости. В теории БКШ [10, 24] сверхпроводящее состояние достигается при спонтанном нарушении фазовой инвариантности, которая ассоциируется с сохранением электронного числа (в псевдоспиновой формулировке Андерсона [11] группой нарушенной симметрии является группа SU(2)). Однако в этом случае имеются дальнодействующие кулоновские силы (хотя Намбу [153] и не воспроизвел этого момента в своей релятивистской модели).

Явление сверхпроводимости частично усложняется тем обстоятельством, что электроны — это фермионы. Более простой системой, во многих отношениях сходной со сверхпроводником, является вырожденный бозе-газ с некоторым межмолекулярным взаимодействием. Обозначим фурье-образ потенциала через В основном состоянии поле конденсата удовлетворяет соотношению

где комплексное число, причем величина равна среднему значению плотности числа частиц Частота со фонона с волновым числом к дается выражением

Если потенциал V короткодействующий в том смысле, что

то фононы представляют собой истинные голдстоуновские возбуждения, для которых

Если же V — кулоновский потенциал (сил отталкивания) то

где — частота плазмы, определяющаяся равенством

В этом случае теорема Голдстоуна оказывается обойденной. (Для более детального знакомства с данным вопросом рекомендуем обзор Гурйльника, Хагена и Киббла

Явление сверхпроводимости можно охватить рассмотренной моделью, если так же, как в теории Гинзбурга — Ландау, отождествить с волновой функцией конденсата куперовских пар (см., например, книгу [169]).