§ 4. «гамма-5»-аномалии

В качестве хорошего обзора по данному вопросу можно рекомендовать работу Джекива [110].

Простейший пример фейнмановской диаграммы с -ано-малией представлен на фиг. 18. Это — треугольная фермионная петля с двумя векторными вершинами и одной аксиально-векторной вершиной. Массой фермиона мы можем пренебречь. Тогда соответствующий интеграл имеет вид

В случае нулевой массы дивергенция векторного и аксиального токов должна быть равна нулю, а потому ожидаемые тождества таковы:

Сначала мы рассмотрим эти тождества, исходя из простых соображений, не связанных (как кажется) с какой-либо регуляризационной процедурой.

Равенство (13.19) можно проверить, подставив в него (13.18):

Фиг. 18. Треугольная фермионная диаграмма с -аномалией.

Каждый из этих двух интегралов представляет собой псевдотензор второго ранга, зависящий от единственного -вектора, а поэтому равен нулю. Чтобы проверить аналогичным способом равенство необходимо в выражении (13.18) перейти к новой переменной интегрирования Но, поскольку интеграл (13.18) линейно расходится, такая замена переменной изменит его на конечную и вполне определенную величину. В частности, замена переменной а изменяет интеграл (13.18) на величину

где

здесь последний множитель возникает из-за вращения контура при переходе к евклидовому интегралу, а объем четырехмерной единичной сферы [формула (13.12)]. На основании сказанного мы заключаем, что

и аналогично

Следовательно, тензор

удовлетворяет условиям типа (13.20) и (13.21). Кроме того, тензор (13.27) содержит симметризованную должным образом форму, которая дает вклад в фейнмановскую диаграмму фиг. 18. Но величина даваемая формулой (13.27), не удовлетворяет равенству (13.19). Вместо этого мы имеем

Это — точное выражение аномалии в аксиальном тождестве при условии, что векторные тождества выполняются.

Указанную аномалию нельзя устранить введением прямого взаимодействия между тремя полями векторных мезонов, показанных на фиг. 18. Структура такой связи совпадала бы со структурой последнего члена в выражении (13.27), а это и есть та неопределенность, которую мы уже учли.

В теории мягких пионов (или пионное поле (по крайней мере эффективно) пропорционально дивергенции аксиального тока:

Если отождествить аксиальную вершину фиг. 18 с а векторные вершины — с электромагнитным током и предположить, что фермионы — это кварки с зарядом то выражения (13.28) и (13.29) дадут вклад в амплитуду распада равный

Это удовлетворительно согласуется с экспериментальным значением времени жизни при условии, что

где суммирование проводится по всем кваркам, которые дают вклад в данный процесс. Если бы аномалии не было, то амплитуда -распада, предсказываемая и калибровочной инвариантностью, оказалась бы слишком малой. Таким образом, имеется, по-видимому, некоторое экспериментальное подтверждение реальности -аномалии.

В данном параграфе мы пока что обходили молчанием вопрос о регуляризации. Интересно посмотреть, что произойдет в случае размерной регуляризации при наличии -вер-шин. Проблема состоит в том, чтобы дать определение в

случае измерений. Возможны два варианта [51]:

или

где символ обозначает полную антисимметризацию. В первом случае аксиальный ток остается аксиальным -вектором в -мерном пространстве, но вклад диаграммы фиг. 18 пропорционален

и обращается в нуль при (поскольку имеется лишь один импульсный множитель, который можно свернуть с оставшимися индексами). В этом случае идея аналитического продолжения не применима в какой-либо явной форме. Во втором случае [формула (13.33)] аксиальный ток представляется полностью антисимметричным тензором ранга и при дивергенция его не равна нулю [поскольку матрица (13.33) не антикоммутирует с -матрицами в уравнении Дирака]. Это именно та ситуация, которая предусмотрена соотношениями (13.16) и (13.17) и приводит к ожидаемой аномалии (13.28).

Кроме диаграммы, представленной на фиг. 18, аномалии имеют треугольная диаграмма четырехугольные диаграммы и и пятиугольные диаграммы и Аномалии в четырехугольных и пятиугольных диаграммах имеются лишь при наличии заряженных токов. В четырехугольных диаграммах появление аномалий обусловлено расходимостями этих диаграмм, представляемых линейно расходящимися интегралами. Аномалии в пятиугольных диаграммах связаны с контактными членами, которые вводят, чтобы исправить поведение четырехугольных диаграмм [19, 23, 213].

Считается, что к -аномалиям приводят лишь треугольные, четырехугольные и пятиугольные фермионныё петли [5]. Диаграммы, подобные фиг. 19, а, которые содержат расходящиеся подграфы, дают только вклад в перенормировку параметров диаграммы фиг. 18. Диаграммы типа фиг. 19,б вообще не имеют аномалий.

Последнее можно усмотреть из того, что для диаграмм с более чем одной замкнутой петлей существует регуляризационная процедура, которая не нарушает симметрии. При таком способе регуляризации фермионный лагранжиан, например,

где ковариантная производная, заменяется лагранжианом

где (большой) параметр с размерностью массы, который в конечном итоге устремляется к бесконечности [187]. Пропагатор ведет себя как

чем обеспечивается сходимость. Вершины, возникающие из-за того, что зависит от полей, имеют множители Аналогичным образом рассматриваются бозоны.

Фиг. 19. Диаграммы высших порядков, а — с аномалией, без аномалии.

В результате ока зывается, что диаграмма с I независимыми циклами пропорциональна

Поскольку данные размерные множители компенсируются соответствующими степенями импульсов в знаменателях, этого достаточно, чтобы обеспечить сходимость диаграмм с Итак, выражение (13.35) дает хорошую регуляризационную процедуру для случая всех однопетлевых примитивных расходимостей (примитивной называется расходимость, не содержащая расходящихся субинтеграций). При таком способе регуляризации не нарушается -инвариантность, и, следовательно, там, где он применим, не возникает никаких аномалий.