Глава 7. Топология и нарушение симметрии

§ 1. Связность групповых многообразий

Ряд интересных идей — квантование заряда, существование вихревых линий и магнитных монополей — связан с топологией группы симметрии (возможно, нарушенной). Мы начнем с того, что напомним два математических положения (см., например, работы [87, 100]).

Группа имеет двусвязное многообразие. Накрывающая ее группа односвязна. В том и другом случае многообразие компактно. Это типично для групп, используемых в моделях нарушенных симметрий. (Некомпактные группы, такие, как группа Лоренца не могут непосредственно использоваться в качестве групп внутренней симметрии, поскольку их унитарные представления бесконечномерны).

Группа на которой основана калибровочная инвариантность электродинамики, совсем иная. Ее многообразие — единичная окружность — компактно. Но оно многосвязно, поскольку замкнутую траекторию, проходящую вдоль этой окружности некоторое число раз, нельзя деформировать в траекторию, проходящую по окружности другое число раз.

Многообразием накрывающей группы является действительная прямая, и оно некомпактно. Поэтому группа ведет себя совершенно иначе, нежели группы с компактными накрывающими группами. То же самое относится и к произведению групп типа (именно эта группа будет использоваться в гл. 8).