Глава 13. Регуляризация и аномалии

§ 1. Необходимость регуляризации

В квантовой теории поля при вычислениях, проводимых методом теории возмущений, почти всегда приходится иметь дело с интегралами, которые обладают ультрафиолетовыми расходимостями. Иногда путем перенормировки расходящиеся части интегралов удается выделить в виде нескольких параметров (масс и констант связи), но и тогда нам приходится манипулировать с расходящимися интегралами, пока конечные части не выделены. Для этого требуется некая регуляризационная процедура, т. е. некий способ временно модифицировать теорию так, чтобы интегралы стали конечными.

Само собой разумеется, что в регуляризованной теории обязательно должны нарушаться некоторые физические принципы, ибо в противном случае она была бы адекватной конечной теорией, чего пока еще никому не удавалось найти. Но хорошая процедура регуляризации должна сохранять как можно больше физических свойств. Например, обычно требуется, чтобы регуляризация была релятивистски ковариантной, так как это гарантирует и ковариантность конечных сходящихся результатов.

В локальных калибровочных теориях регуляризация должна сохранять калибровочную инвариантность; если она ее нарушает, то мы рискуем получить неинвариантные, а следовательно, и бессмысленные результаты. Это особенно проявляется на примере теорий Хиггса, в которых требование калибровочной инвариантности гарантирует эквивалентность калибровок, обеспечивающих перенормируемость теорий, унитарной калибровке.

К сожалению, калибровочная инвариантность (особенно относительно неабелевых калибровочных групп) настолько жестко определяет теорию, что вообще путем регуляризации довольно трудно ее модифицировать. Но было найдено одно чрезвычайно элегантное и полезное решение этой проблемы [15, 37, 195]: размерная регуляризация. Размерность пространства-времени временно полагают равной где комплексное число, действительная часть которого меньше 4 (иногда меньше 2). На конечной стадии расчета после перенормировки можно перейти к пределу при 4.