§ 3. Функция Фаддеева — Попова

Чтобы мы могли воспользоваться представлением (11.18), нам нужно знать, как вычислять функциональный якобиан Для этого удобно в выражении (11.10) использовать представление -функции (обобщающее, конечно, понятие обычных -функций):

где интеграл по берется по всем действительным значениям поля Как подчеркивалось после формулы (11.6), интегрирование по о в выражениях (11.10) и (11.26) также можно распространить на все действительные значения поля со Таким образом, подобны обычным полям, а показатель экспоненты в формуле (11.26) можно представить себе, как некоего рода «лагранжиан» для этих полей:

Мы будем называть поля «шпурионами». В литературе их еще часто называют полями Фаддеева — Попова или «духами». «Лагранжиан» необычен в том смысле, что первый его член является недиагональным и содержит поля . Но член взаимодействия превращает поле снова в так что в этом нет никакой проблемы. Чередуясь, два эти поля образуют замкнутые петли. Последние два члена выражения (11.27), будучи линейными по несущественны: они могут дать лишь начало шпурионной линии, но такой линии негде окончиться (для этого требуется член, линейный по Тем самым подтверждается независимость якобиана А от поля В.

Пусть правая часть выражения (11.26) имеет вид функционала

аналогичного функционалу (10.29), причем У порождает только связные графы. По отношению к выражению (11.18)

данное требование означает, что

Чтобы перейти от представления (11.28) к (11.29), нужно лишь поставить знак минус перед каждым из несвязных замкнутых -циклов, и на практике такой переход не вызывает затруднений. Но это означает, что нельзя рассматривать как истинный лагранжиан, а следовательно, нельзя и включать в показатель экспоненты (11.18), ибо тогда мы получим а не . В этом и заключается преимущество метода интегралов по траекториям: он позволяет вводить под интеграл (11.18) член типа который нельзя представить в виде экспоненты от истинного лагранжиана.

Тем не менее шпурионный вклад можно отнести на счет некоторого лагранжиана, если рассматривать (подобно фермионам) как антикоммутирующие поля. Тогда, как уже говорилось в гл. 10, § 6, для каждой замкнутой петли автоматически появляется дополнительный знак минус. Поскольку поля никогда не возникают во внешних линиях и не представляют физических частиц, нет противоречия и в том, что фермионные поля имеют спин 0. Несмотря на явную искусственность такого приема, он оказывается очень полезным при формулировке тождеств Уорда (гл. 12, § 2).

Мы можем сделать следующие выводы. Плотность полного лагранжиана

где считаются фермионными полями, дает правильные -матричные элементы (не зависящие от выбора Это приводит к определению функций Грина, которые не инвариантны относительно калибровочных преобразований (и зависят от

Если данный метод применить к квантованию электродинамики, то возникнет пара шпурионных полей, но они не связываются с и поэтому ими можно пренебречь. Таким образом, использование фиксирующего калибровку члена (3.22) без каких-либо других усложнений оправданно.