§ 98. Распределение Максвелла

Для выяснения способа, которым можно количественно описать распределение молекул по значениям скорости, воспользуемся следующим приемом. Возьмем в воображаемом пространстве, которое мы будем называть -пространством (пространством скоростей), прямоугольные координатные оси, по которым станем откладывать значения отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям х, у и z, взятым в обычном Пространстве). Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений положения точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной (напомним, что рассматривается равновесное состояние газа).

Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в пространстве может зависеть только от модуля скорости v (или от ). Обозначим эту плотность через — полное число молекул в данной массе газа). Тогда количество молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах от до можно представить в виде

(98.1)

(произведение дает элемент объема в пространстве).

Точки, изображающие скорости, величина которых заключена в пределах от v до попадают в область, лежащую между сферами радиусов v и (рис. 98.1). Объем области равен Следовательно, число точек, находящихся в этой области, определяется выражением

Это выражение дает число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от v до Разделив его на N, получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в пределах от v до

Рис. 98.1.

Из сравнения этого выражения с (93.6) заключаем, что

играет роль функции распределения молекул газа по скоростям.

Вид функции (98.4) был установлен теоретически Максвеллом в 1860 г. В изложенном ниже выводе закона распределения молекул газа по скоростям мы примерно следуем Максвеллу.

Согласно формуле (93.6) вероятность того, что компонента скорости некоторой молекулы имеет значение в пределах от до может быть представлена в виде

где — функция распределения. Аналогичные вероятности для двух других компонент определяются выражениями

В силу равноправности всех направлений движения аналитический вид функций должен быть одинаков, эти функции отличаются лишь обозначением аргумента.

Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из компонент, например не зависит от того, какова величина остальных двух компонент (в данном случае ). Это означает, что события, заключающиеся в том, что некоторой молекулы находится в пределах от до той же молекулы — в пределах от до и, наконец, той же молекулы — в пределах от до являются статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в пределах от до равна произведению вероятностей (98.5); (98.6) и (98.7):

(см. формулу (93.4)). Вместе с тем, согласно (98.1), эта вероятность может быть, представлена в виде

(98.9)

Сравнение выражений (98.8) и (98.9) дает, что

(98.10)

Взяв логарифм от обеих частей этого равенства, получим:

Продифференцируем полученное соотношение по

Поскольку частная производная от v по равна

Подставив это значение производной в (98.11) и перенеся затем числителя левой части в знаменатель правой, придем к равенству

Правая часть этого равенства, а значит и левая часть, не зависит от переменных Следовательно, она не может зависеть и от входят в симметрично; см. (98.10)). Таким образом, каждое из выражений, стоящих слева и справа в (98.12), равно некоторой константе, которую мы обозначим, через —а (впоследствии выяснится, что эта константа меньше нуля, т. е. ). Итак,

Интегрирование дает, что

где А — константа. Отсюда

(98.13)

Аналогично

Перемножив найденные функции, найдем, что

(98.14)

Из вида функций (98.13) и (98.14) следует, что постоянная а должна быть больше нуля. Если бы она была отрицательной, эти функции неограниченно возрастали бы при увеличении V.

Постоянная А определяется из условия нормировки (93.7). Согласно этому условию

(98.15)

В § 94 отмечалось, что значения v (а значит и иж) не могут превысить некоторое, хотя и очень большое, но конечное значение . Вместе с тем, в качестве пределов интегрирования мы взяли Такое расширение пределов интегрирования не вносит ощутимой ошибки. Подынтегральная функция убывает о ростом столь быстро, что при достаточно больших она практически не отличается от нуля. Поэтому вклад участков интегрирования от до и от до является пренебрежимо малым.

Интеграл в (98.15) представляет собой интеграл Пуассона с (см. Приложение I, формулу (1.1)). Согласно (1.3)

Подставив это значение в (98.15), получим, что Отсюда

(98.17)

Подстановка найденного значения А в (98.13) и (98.14) приводит к формулам

(98.18)

Чтобы найти постоянную а, вычислим с помощью функции (98.18) значение и приравняем полученное выражение найденному из вычисления давления значению (см. (97.3)). В соответствии в (93.11)

Согласно формуле (1.4)

Заменив в (98.20) интеграл его значением (98.21), найдем, что

Сопоставление с (97.3) дает

(98.22)

Подстановка этого значения в формулы (98.18) и (98.19) приводит к окончательным выражениям для функций распределения:

Напомним, что функция (98.24), будучи умноженной на N, определяет плотность точек, изображающих скорости молекул в -пространстве. Умножив эту функцию на мы найдем вероятность того, что компоненты скорости лежат в пределах от до При этом не только величина скорости, но и ее направление варьируются лишь в небольших пределах, определяемых Если нас интересует вероятность только величины скорости, независимо от направления движения молекулы, т. е. , то нужно взять функцию распределения в виде (98.4).

Рис. 98.2.

Рис. 98.3.

Умножение этой функции на дает вероятность того, что модуль скорости некоторой молекулы окажется (при произвольном направлении движения) в пределах от v до

Согласно (98.4) и (98.24)

Характерным для этой функции является то обстоятельство, что в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение кинетической энергии молекулы, отвечающей рассматриваемой скорости v, к , т. е. величине, характеризующей среднюю энергию молекул газа.

График функции (98.23) изображен на рис. 98.2. Он совпадает с гауссовой кривой распределения случайной величины.

График функции (98.25) дан на рис. 98.3. Поскольку при возрастании v множитель вида убывает быстрее, чем растет множитель функция, начинаясь в нуле (из-за ), достигает максимума и затем асимптотически стремится к нулю.

Площадь, охватываемая кривой, равна единице (ср. с (93.7)).

Найдем среднюю скорость молекул (имеется в виду средняя арифметическая скорость). По аналогии с (93.9) имеем:

Переход к переменной и интегрирование по частям приводят к следующему результату:

(98.26)

Согласно (93.11)

В соответствии с формулой (1.6)

Подставив это значение интеграла в (98.27), получим для уже известное нам значение (см. (97.2)). В этом нет ничего удивительного, так как при нахождении значения а в (98.18) мы исходили из соотношения (97.3), т. е. по существу из соотношения (97.2).

Рис. 98.4.

Рис. 98.5.

Корень квадратный из называется средней квадратичной скоростью:

(98.28)

Скорость, отвечающая максимуму будет наиболее вероятной.

Взяв производную от выражения (98.25) по v, опустив постоянные множители и приравняв получившееся выражение нулю, придем к уравнению

Удовлетворяющие этому уравнению значения соответствуют минимумам Значение V, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомую наиболее вероятную скорость :

(98.29)

Сопоставление выражений (98.29), (98.26) и (98.28) дает, что

Рис. 98.4 иллюстрирует это соотношение.

Подставив выражение (98.29) в формулу (98.25), найдем максимальное значение функции

(98.30)

Из формул (98.29) и (98.30) следует, что при увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой смещается вправо и становится ниже, причем, как мы знаем, площадь, охватываемая кривой, остается неизменной. На рис. 98.5 сопоставлены две кривые распределения, которые можно трактовать либо как относящиеся к различным температурам (при одинаковой ), либо как относящиеся к различным массам молекул (при одинаковой Т).

Относительное количество молекул, скорость которых превышает некоторое значение определяется выражением

На графике этому интегралу соответствует лежащая справа от часть площади, ограниченной кривой. Из рис. 98.5 видно, что относительное количество молекул, имеющих скорости, превышающие сильно растет с повышением температуры.

Таблица 98.1

В табл. 98.1 приведены вычисленные с помощью функции (98.25) относительные количества молекул для различных интервалов скоростей. Из таблицы следует, что у 70% всех молекул скорость отличается от наиболее вероятной не больше чем на 50%:

Скоростью, более чем в 3 раза превышающей обладает в среднем только 0,04% молекул. Скорости же, превышающие наблюдаются в среднем лишь у одной из 12 миллиардов молекул.

Произведем оценку средней скорости молекул кислорода. Вычисления удобнее производить, заменив в (98.26) отношение равным ему отношением Тогда выражение для средней скорости примет вид

(98.31)

Молекулярная масса кислорода равна 32. Следовательно, масса моля Комантная температура равна примерно 300 К. Подставив в формулу (98.31) числовые значения входящих в нее величин, получим

Таким образом, каждая молекула кислорода проходит за секунду путь, равный в среднем 0,5 км. Поскольку молекула претерпевает очень частые соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию.

Молекулы водорода имеют массу, в 16 раз меньшую, чем молекулы кислорода, вследствие чего их скорость при той же температуре будет в 4 раза больше и составит при комнатной температуре в среднем почти

Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого сорта имеет место распределение (98.25) со своим значением т. Более тяжелые молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие.

Исходя из распределения молекул по скоростям

(98.32)

можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии поступательного движения (обозначим ее буквой ). Для этого нужно перейти от переменной v к переменной , равной Произведя в (98.32) подстановку получим

(98.33)

где означает число молекул, кинетическая энергия поступательного движения которых имеет значения, заключенные в пределах от до

Таким образом, распределение молекул по значениям в характеризуется функцией

(98.34)

где А — нормировочный множитель, равный