Предисловие

Не будет большим преувеличением сказать, что всё, что мы видим (а также слышим, осязаем и т.д.), описывается уравнениями в частных производных или, слегка более ограничительно, уравнениями математической физики. Среди процессов и явлений, адекватные модели которых основаны на таких уравнениях, можно упомянуть, например, колебания струны, волны на поверхности воды, звуковые и электромагнитные волны (в частности, свет), распространение тепла и диффузия, гравитационное притяжение планет и галактик, поведение электронов в атомах и молекулах, а также Большой Взрыв, приведший к образованию нашей Вселенной.

Не удивительно, что уравнения с частными производными образуют сегодня огромную и необозримую область математики и математической физики, использующую методы всей остальной математики (от которой эта область, впрочем, неотделима) и оказывающую обратное влияние на весьма многие части математики, физики, химии, биологии и других наук.

Огорчительный вывод состоит в том, что ни одна книга и, тем более, ни один учебник не могут достичь полноты в описании этой области.

Эта ситуация типична в сегодняшней науке, однако это не облегчает задачи авторов учебников, по которым должно учиться каждое следующее поколение студентов и аспирантов. Остаётся единственная возможность: показать читателю «картинки с выставки», выбранные по вкусу автора (или авторов), т. е. несколько типичных методов и задач. При этом приходится жестоко ограничить себя в выборе материала.

В этой книге изложено почти без изменений содержание годового курса лекций по уравнениям математической физики, прочитанных автором на экспериментальном потоке механико-математического факультета МГУ.

В книге приведены задачи, разбиравшиеся на семинарах, а также входившие в домашние задания. Лекции происходили один раз в неделю в течение всего года, а семинары в одном из семестров еженедельно, а в другом один раз в две недели.

Автору хотелось написать курс одновременно краткий и современный. Как оказалось, эти требования в известной степени противоречат друг другу. Требование краткости заставило автора, во-первых, излаг гать ряд идей на простейших примерах, а во-вторых, опустить многие вещи, которые должны были бы войти в современный курс, но сильно увеличили бы его объём. С особым сожалением я опустил уравнение Шрёдингера, рассчитывая, впрочем, на происходивший параллельно курс квантовой механики. По-видимому, в современном курсе уравнении математической физики стоит говорить что-то и о нелинейных уравнениях. Утешением автору служит лишь известное высказывание Козьмы Пруткова: «Нельзя объять необъятное».

Приведённый в конце книги список литературы содержит некоторое количество учебников на русском языке, в которых читатель сможет почерпнуть информацию, дополняющую содержание настоящего курса. Разумеется, многие из этих книг пересекаются как с данным курсом, так и между собой, однако автору показалось трудным произвести ещё более жёсткий отбор, который читатель легко сделает по собственному вкусу.

Добавим ещё, что задачи, приведённые в этой книге, не только комментируют курс, но и дополняют его (иногда существенно). Однако для их решения не требуется никаких новых идей по сравнению с теми, которые изложены в тексте лекций.

Я благодарю научного руководителя экспериментального потока С. П. Новикова и преподавателей кафедры дифференциальных уравнений МГУ за полезные обсуждения программы и отдельных вопросов этого курса.

Я глубоко благодарен сотрудникам издательства МЦНМО, в особенности И. В. Вялой, за добросовестную и качественную работу над текстом книги. Качество рисунков, подготовленных М. Н. Вялым, превзошло все мои ожидания. Перевод на русский язык эпиграфа из Р. Фроста, сделанный А. Н. Вялым, вызвал у меня немой восторг и лёгкую зависть (как мне кажется, по качеству он заметно превосходит все известные мне профессиональные переводы).

Я также весьма признателен Огнену Милатовичу за полезные замечания и помощь в проверке задач.

М. А. Шубин