6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

Принцип Хольмгрена состоит, если говорить совсем грубо, в том, что единственность решения задачи Коши для уравнения

вытекает из существования решения «сопряжённой» задачи Коши в сторону убывания времени:

Здесь — вектор-функции от t со значениями в векторных пространствах Е и Е', между которыми задано спаривание т. е. билинейная форма

Это спаривание должно быть невырождено в том смысле, что если для любого , то . Далее, — это зависящие от t операторы в Е и Е' соответственно, транспонированные друг к другу в том смысле, что

Чтобы определить производные нужны какие-то топологии в Е и Е', но мы сейчас не будем придавать им точный смысл, а вместо

этого опишем схему доказательства единственности решения задачи Коши для уравнения (6.33), которая должна служить идейной основой такого доказательства в конкретной ситуации. Таким образом, мы откладываем придание точного смысла последующим рассуждениям до рассмотрения конкретной ситуации.

Итак, пусть — решение уравнения (6.33), определённое при и удовлетворяющее нулевому начальному условию . Мы хотим доказать, что Для этого рассмотрим при каком-нибудь решение сопряжённой задачи Коши (6.34). Имеем:

Это главная выкладка, нуждающаяся в последующем оправдании и объясняющая появление сопряжённой задачи Коши. Из неё получаем

(6.37)

(предельные переходы при и при тоже надо оправдывать). Если теперь задача (6.34) разрешима (и решение обладает свойствами, позволяющими провести все предшествующие рассуждения) для такого класса начальных данных что из равенства при всех вытекает, что , то ясно, что , но тогда ввиду произвольности

Теперь, вооружившись абстрактной схемой принципа Хольмгрена, докажем единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Теорема 6.7 (теорема А. Н. Тихонова). Пусть функции непрерывна в полосе удовлетворяет в открытой полосе уравнению теплопроводности (6.1), и оценке

Тогда если , то во всей рассматриваемой полосе.

Доказательство. Рассмотрим сопряжённую задачу Коши

где . Выпишем решение этой задачи с помощью интеграла Пуассона:

Ввиду финитности функции это решение при , где удовлетворяет оценке

где и R достаточно велико.

Такая же оценка верна и для любой производной где а — -мерный мультииндекс. Пусть выбрано столь малым, что Тогда интеграл

имеет смысл и равномерно сходится при Как показывает пример 6.1, интегралы, полученные заменой u или v на их производные по t или также равномерно сходятся при , где число произвольно. Поэтому функция непрерывна при обращается в 0 при и при имеет производную

Последний интеграл равен нулю, так как его можно по формуле Грина записать в виде

поскольку экспоненциально стремятся при . Таким образом, .

Теперь проверим, что

(правая часть на самом деле равна ) Имеем:

поскольку рассуждения, проводившиеся нами при рассмотрении интеграла Пуассона, показывают, что

равномерно на любом компакте в

Итак, ясно, что

если . Поэтому при .

Но теперь мы можем перейти к заданию начальных данных при и доказать, что уже при и т. д. В итоге получаем: во всей полосе, что и требовалось.

Итак, в классе функций, удовлетворяющих оценке (6.38), решение задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно.