Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводностиПринцип Хольмгрена состоит, если говорить совсем грубо, в том, что единственность решения задачи Коши для уравнения
вытекает из существования решения «сопряжённой» задачи Коши в сторону убывания времени:
Здесь
Это спаривание должно быть невырождено в том смысле, что если
Чтобы определить производные нужны какие-то топологии в Е и Е', но мы сейчас не будем придавать им точный смысл, а вместо этого опишем схему доказательства единственности решения задачи Коши для уравнения (6.33), которая должна служить идейной основой такого доказательства в конкретной ситуации. Таким образом, мы откладываем придание точного смысла последующим рассуждениям до рассмотрения конкретной ситуации. Итак, пусть
Это главная выкладка, нуждающаяся в последующем оправдании и объясняющая появление сопряжённой задачи Коши. Из неё получаем
(предельные переходы при Теперь, вооружившись абстрактной схемой принципа Хольмгрена, докажем единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема 6.7 (теорема А. Н. Тихонова). Пусть функции
Тогда если Доказательство. Рассмотрим сопряжённую задачу Коши
где
Ввиду финитности функции
где Такая же оценка верна и для любой производной
имеет смысл и равномерно сходится при
Последний интеграл равен нулю, так как его можно по формуле Грина записать в виде
поскольку Теперь проверим, что
(правая часть на самом деле равна
поскольку рассуждения, проводившиеся нами при рассмотрении интеграла Пуассона, показывают, что
равномерно на любом компакте в Итак, ясно, что
если Но теперь мы можем перейти к заданию начальных данных при Итак, в классе функций, удовлетворяющих оценке (6.38), решение задачи Коши для уравнения теплопроводности единственно.
|
1 |
Оглавление
|