5.3. Свёртка обобщённых функций

Из формулы (5.5) ясно, что свёртку обобщённых функций естественно пытаться определить с помощью формулы

Однако эта формула (и сама свёртка) не всегда имеет смысл, поскольку при . Тем не менее, иногда правая часть (5.18) имеет естественный смысл. Пусть, например, . Тогда мы положим

что имеет смысл ввиду того, что Можно поступить и наоборот, полагая

что также имеет смысл, поскольку . Покажем, что оба эти способа совпадают. Для этого возьмём такую функцию что в окрестности . Тогда и мы имеем

и аналогично

Но правые части этих соотношении равны в силу доказанного выше свойства (5.9) прямого произведения, поскольку Поэтому равны и левые части. Теперь мы можем дать

Определение. Свёрткой двух обобщённых функций из которых одна имеет компактный носитель, называется обобщённая функция , определяемая по формуле (5.18), понимаемой в смысле (5.19) или (5.20).

Как мы видели, свёртка коммутативна, т. е.

Она также ассоциативна, т. е.

если две из трёх обобщенных функций имеют компактный носитель. Это легко проверяется из ассоциативности прямого произведения, а также из того, что

и то же самое верно, если заменить на .

Правило (5.3) дифференцирования свёртки верно и для обобщённых функций. В самом деле,

но можно представить в виде или и тогда обратная переброска показывает, что верно правило (5.3):

Пример 5.3. .

С алгебраической точки зрения мы видим, что операции сложения и свёртки определяют на структуру ассоциативного кольца с единицей При этом является двусторонним модулем над этим кольцом.

Пример 5.4. Решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.

Определение. Пусть — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в Обобщённая функция называется его фундаментальным решением, если

Тогда уравнение

где имеет частное решение

В самом деле

что и требовалось.

Пример 5.5. Пользуясь предыдущим замечанием, можно находить без вариации постоянных частное решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В самом деле, пусть — оператор вида

где . В этом случае мы можем положить

где у — решение уравнения с начальными условиями

Отсюда, если функция имеет компактный носитель, то функция

является частным решением уравнения . Отметим, что поскольку как функция от удовлетворяет уравнению при любом , то функция

удовлетворяет уравнению Поэтому наряду с частным решением уравнения является также функция

Формула (5.25) даёт решение уравнения при произвольной функции (не обязательно финитной), поскольку факт выполнения уравнения в точке зависит лишь от поведения в окрестности этой точки, а само решение и, найденное по этой формуле, определяется в окрестности точки лишь значениями на некотором конечном отрезке.

Приведём конкретный пример: частное решение уравнения даётся формулой

Пример 5.6. Потенциалы. Если — фундаментальное решение оператора Лапласа в определяемое формулами (4.55), (4.55), то свёртка где называется потенциалом и удовлетворяет уравнению Пуассона .

В частности, если функция кусочно-непрерывна, то при мы получаем ньютоновский потенциал

а при — логарифмический потенциал

Свёртка в этих примерах и при любом локально интегрируема. Свёртка как обобщённая функция совпадает с обычной локально интегрируемой функцией

поскольку функция локально интегрируема в и мы можем по теореме Фубини сделать в интеграле замены переменных, приводящие к определению свёртки обобщённых функций. Приведём другие примеры потенциалов. Свёртка

где Г — гладкая компактная поверхность коразмерности 1 в называется потенциалом простого слоя и имеет смысл потенциала системы зарядов, распределённых по поверхности Г с плотностью р.

Свёртка

называется потенциалом двойного слоя и имеет смысл потенциала системы диполей, расположенных на поверхности Г, ориентированных вдоль внешней нормали и с плотностью дипольного момента .

Заметим, что вне поверхности Г оба потенциала (5.28) и (5.29) являются обычными бесконечно дифференцируемыми функциями, заданными формулами

Представляющее интерес поведение потенциалов вблизи поверхности Г мы более подробно обсудим в дальнейшем.