Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5.3. Свёртка обобщённых функцийИз формулы (5.5) ясно, что свёртку обобщённых функций
Однако эта формула (и сама свёртка) не всегда имеет смысл, поскольку
что имеет смысл ввиду того, что
что также имеет смысл, поскольку
и аналогично
Но правые части этих соотношении равны в силу доказанного выше свойства (5.9) прямого произведения, поскольку Определение. Свёрткой двух обобщённых функций Как мы видели, свёртка коммутативна, т. е.
Она также ассоциативна, т. е.
если две из трёх обобщенных функций
и то же самое верно, если заменить Правило (5.3) дифференцирования свёртки верно и для обобщённых функций. В самом деле,
но
Пример 5.3. С алгебраической точки зрения мы видим, что операции сложения и свёртки определяют на Пример 5.4. Решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Определение. Пусть
Тогда уравнение
где
В самом деле
что и требовалось. Пример 5.5. Пользуясь предыдущим замечанием, можно находить без вариации постоянных частное решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В самом деле, пусть
где
где у — решение уравнения
Отсюда, если функция
является частным решением уравнения
удовлетворяет уравнению
Формула (5.25) даёт решение уравнения Приведём конкретный пример: частное решение уравнения
Пример 5.6. Потенциалы. Если В частности, если функция
а при
Свёртка
поскольку функция
где Г — гладкая компактная поверхность коразмерности 1 в Свёртка
называется потенциалом двойного слоя и имеет смысл потенциала системы диполей, расположенных на поверхности Г, ориентированных вдоль внешней нормали и с плотностью дипольного момента Заметим, что вне поверхности Г оба потенциала (5.28) и (5.29) являются обычными бесконечно дифференцируемыми функциями, заданными формулами
Представляющее интерес поведение потенциалов вблизи поверхности Г мы более подробно обсудим в дальнейшем.
|
1 |
Оглавление
|