7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
Мы рассмотрим две обобщённых постановки краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. В обоих случаях существование и единственность решения после проведённой подготовительной работы легко вытекает из общих теорем функционального анализа.
Первая постановка имеет в качестве классического аналога следующую задачу (задачу с нулевыми граничными условиями для уравнения Пуассона):
Вместо граничного условия
напишем:
Теперь попробуем записать уравнение
. Пусть вначале
. Тогда если
то выполняя интегрирование по частям, получим:
Если
, то это означает, что
где
— скалярное произведение в
. Заметим теперь, что если обе части (7.17) рассматривать как функционалы от v, то эти функционалы линейны и непрерывны по норме
пространства
Поэтому (7.17) верно, когда v принадлежит замыканию
, т. е. когда
.
Обратно, пусть область
ограничена и имеет гладкую границу, и
и (7.17) выполнено при любой функции
. Докажем, что тогда и является решением задачи (7.15).
Вначале заметим, что из условия и
вытекает, что
. Это вытекает
того, что отображение и продолжается до непрерывного отображения
которое переводит в 0 все функции из
и, тем самым, все функции
. Отметим, что здесь мы фактически используем лишь тот факт, что если и
. Этот факт легко получить непосредственно, минуя теорему 7.5 и её распространение на случай многообразий. Укажем схему соответствующего рассуждения, не входя в подробности. Применяя разбиение единицы и выпрямляя локально границу с помощью диффеоморфизма, мы можем затем, рассуждая как в доказательстве неравенства Фридрихса, получить, что
для функции
, сосредоточенной в малой окрестности фиксированной точки границы. Поэтому если
, то и нельзя приблизить функциями из
по норме пространства
. Итак, если и
.
На самом деле, если и
, то и обратно из условия
вытекает, что
Этот факт может быть доказан следующим образом. Строя усреднение характеристической функции множества
, где
мы получим такую функцию
что
при
и
(постоянная
не зависит от
). Если теперь
, то
. Из условия
вытекает, что если
, то
, где С здесь и ниже зависит от u, но не зависит от е.
Это позволяет оценить выражение
где
— норма в
— интеграл Дирихле. Поскольку имеет меру Лебега, не превосходящую
, то
(здесь u и
гасят друг друга). Итак и по норме
можно приблизить функциями из
носитель которых — компакт в
. Их, в свою очередь, легко приблизить функциями из
по норме
с помощью операции усреднения.
Итак, условие
на функциях и
для ограниченной области
с гладкой границей равносильно включению и
. Это оправдывает замену граничного условия в (7.15) включением (7.16).
Далее, выполнение тождества (7.17) для и
при любой функции
равносильно тому, что
(где
применяется в обобщенном смысле). В самом деле, если выполнено (7.17), то выбрав
мы получим, перебрасывая производные с u на
, что
, что и означает, что
Обратно, если
, то тождество (7.17) верно при
, а значит по непрерывности при любом
.
Всё это оправдывает следующую обобщённую постановку задачи (7.15):
Пусть
— произвольная ограниченная область в
надо найти такую функцию
, что тождество (7.17) выполнено для любой функции
(или, что то же самое, для любой функции
).
Функцию и будем называть в зтом случае обобщённым решением задачи (7.15). Выше мы видели, что если
ограничена и имеет гладкую границу,
, то и является обобщённым решением задачи (7.15) тогда и только тогда, когда оно является решением этой задачи в классическом смысле.
Теорема 7.9. Обобщённое решение задачи (7.15) существует и единственно.
Доказательство. Перепишем (7.17) в виде
и рассмотрим правую часть как функционал от v при
Это линейный непрерывный функционал. Его линейность очевидна, а непрерывность вытекает из неравенства Коши-Буняковского:
где
— норма в
.
По теореме Рисса мы можем (и притом единственным образом) записать этот функционал в виде
, где u — некоторый фиксированный элемент пространства
. Это доказывает однозначную разрешимость задачи (7.15) (в обобщённой постановке).
Обобщённая постановка задачи Дирихле оставляет открытыми два важных вопроса: 1) точное описание класса всех решений и при
существование более гладкого решения при большей гладкости
. Заметим, что локальные вопросы о гладкости легко решаются тем замечанием, что если
— фундаментальное решение оператора Лапласа в
, то свёртка
(определённая при почти всех
) является решением уравнения
и, значит,
т. е. и — но — аналитическая функция в
. Поэтому гладкость и локально совпадает с гладкостью
и может быть легко описана (например, если
), то и
как это уже было доказано ранее). Сложнее решается вопрос о гладкости вблизи границы. Более того, для случая негладкой границы он не выяснен до конца и по сей день. Однако в случае, когда граница
гладкая (класса
), имеются точные (хотя и не очень просто доказываемые) теоремы, описывающую гладкость и через гладкость
. Мы приведём две такие теоремы без доказательства.
Итак, пусть ограниченная область
имеет границу класса
.
Если
то
Обратно, очевидно, что если
, то
. Таким образом, оператор
осуществляет изоморфизм:
В частности, в этом случае все обобщённые решения (при
) пробегают пространство
.
Другой вариант точного описания гладкости имеется в шкале функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Будем писать, что
где
если
(говорят тогда, что
удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7). Класс функций
, где
, состоит из таких функций
что
при
. Если и — решение задачи (7.15) в ограниченной области
с гладкой границей и
где
то
.
Отметим, что такого сорта теорема неверна в обычных классах
даже локально, а именно, из условия
не следует даже, что
.
Перейдём к рассмотрению обобщённой постановки обычной задачи Дирихле
Прежде всего возникает вопрос об интерпретации граничного условия. Мы сделаем это так: будем считать, что дана такая функция v, что
Будем считать, что
а граничное условие для и интерпретируем так:
. Отсюда следует, что
Введение функции v избавляет нас от необходимости описывать гладкость
и, тем самым, от использования пространств Соболева с нецелым индексом на
. Кроме того, удаётся рассмотреть случай области с негладкой границей.
Итак, сформулируем обобщённую постановку задачи Дирихле (7.19):
Пусть дана ограниченная область
; найти такую функцию
что
.
На первый взгляд кажется, что эта задача сводится к предыдущей, если искать
и обозначить
Однако ниоткуда не следует, что
, а более общий случай мы не рассматривали.
Поэтому рассмотрим эту задачу независимо от первой, тем более, что решается она столь же просто.
Из вышеизложенного ясно также, что если
и u — обобщённое решение задачи (7.19), то и является обычным классическим решением этой задачи.
Теорема 7.10. Обобщённое решение и задачи Дирихле существует и единственно для любой ограниченной области
и для любой функции
. Это решение имеет строго минимальный интеграл Дирихле
среди всех функций и
для которых
. Обратно, если и является стационарной точкой интеграла Дирихле в классе всех функций и
для которых
, то на самом деле интеграл Дирихле имеет строгий минимум на функции и, причём и является обобщённым решением задачи Дирихле.
Доказательство. Пусть
. Условие
можно записать в виде:
или, что то же самое, в виде
Поскольку скалярное произведение
является по w непрерывным функционалом на
по непрерывности имеем
Это условие равносильно уравнению
Итак, мы должны найти такую функцию и
что и ортогональна подпространству
относительно скалярного произведения
причём
. Но это означает, что и является перпендикуляром, опущенным из v на подпространство
Как известно, в гильбертовом пространстве такой перпендикуляр единствен, причём он является наименьшим по длине вектором и
удовлетворяющим условию
Условие стационарности и, как известно, приводит к условию ортогональности.
Однако имеется небольшая неприятность: «скалярное произведение»
определяет структуру гильбертова пространства на
но не на
. Поэтому следует слегка уточнить приведённые рассуждения.
Рассмотрим
так что
. Из условия (7.20) вытекает, что
Но отсюда очевиден способ доказательства существования решения. А именно, рассмотрим
как линейный непрерывный функционал от w на
и представим его (по теореме Рисса это возможно и притом единственным образом) в виде
, где z — фиксированный элемент
. Остаётся положить
По построению z выполнено условие (7.21), откуда следует (7.20). Условие
очевидно.
Единственность решения очевидна из того, что если
— два решения, то
удовлетворяет условию (7.20), откуда
.
Покажем теперь минимальность интеграла Дирихле на решении и в классе всех
для которых
. Положим
, так что
. Ясно, что
и из (7.20) находим
причём равенство достигается лишь при
, т. е. при
или, что то же самое, при
.
Проверим, наконец, что если интеграл Дирихле стационарен на функции
в классе всех
, для которых
то
— обобщённое решение задачи Дирихле (и, значит, интеграл Дирихле достигает строгого минимума на u). Стационарность интеграла Дирихле на и означает, что
Но
Стационарность даёт:
для любого
. Но мы можем заменить z на
откуда
при любом
что даёт условие (7.20). Теорема 7.10 доказана.
В заключение укажем без доказательства правильное описание гладкости решений по информации о функции
в граничной задаче (7.19) для области
с гладкой границей.
Мы уже говорили, что если
, то
. Оказывается, что верно и обратное: если
, где
, то существует и единственно решение
задачи (7.19) (см., например, Лионе и Мадженес [34]).
Аналогично, если
где
, то существует (и единственно) решение
.
Объединяя описанные свойства гладкости решений задач (7.15) и (7.19), легко получить, что отображение
продолжается до изоморфизма
а также до изоморфизма
Аналогичные теоремы могут быть доказаны и для общих эллиптических уравнений с общими граничными условиями, удовлетворящими алгебраическому условию, называемому условием эллиптичности (или коэрцитивности, накрывания, Шапиро-Лопатинского). Изложение общей теории эллиптических граничных задач можно найти, например, у Лионса, Мадженеса [34] или Хёрмандера [55-2].