7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)

Мы рассмотрим две обобщённых постановки краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа. В обоих случаях существование и единственность решения после проведённой подготовительной работы легко вытекает из общих теорем функционального анализа.

Первая постановка имеет в качестве классического аналога следующую задачу (задачу с нулевыми граничными условиями для уравнения Пуассона):

Вместо граничного условия напишем:

Теперь попробуем записать уравнение . Пусть вначале . Тогда если то выполняя интегрирование по частям, получим:

Если , то это означает, что

где — скалярное произведение в . Заметим теперь, что если обе части (7.17) рассматривать как функционалы от v, то эти функционалы линейны и непрерывны по норме пространства Поэтому (7.17) верно, когда v принадлежит замыканию , т. е. когда .

Обратно, пусть область ограничена и имеет гладкую границу, и и (7.17) выполнено при любой функции . Докажем, что тогда и является решением задачи (7.15).

Вначале заметим, что из условия и вытекает, что . Это вытекает того, что отображение и продолжается до непрерывного отображения которое переводит в 0 все функции из и, тем самым, все функции . Отметим, что здесь мы фактически используем лишь тот факт, что если и . Этот факт легко получить непосредственно, минуя теорему 7.5 и её распространение на случай многообразий. Укажем схему соответствующего рассуждения, не входя в подробности. Применяя разбиение единицы и выпрямляя локально границу с помощью диффеоморфизма, мы можем затем, рассуждая как в доказательстве неравенства Фридрихса, получить, что

для функции , сосредоточенной в малой окрестности фиксированной точки границы. Поэтому если , то и нельзя приблизить функциями из по норме пространства . Итак, если и .

На самом деле, если и , то и обратно из условия вытекает, что Этот факт может быть доказан следующим образом. Строя усреднение характеристической функции множества , где

мы получим такую функцию что при и

(постоянная не зависит от ). Если теперь , то . Из условия вытекает, что если , то , где С здесь и ниже зависит от u, но не зависит от е.

Это позволяет оценить выражение

где — норма в — интеграл Дирихле. Поскольку имеет меру Лебега, не превосходящую , то

(здесь u и гасят друг друга). Итак и по норме можно приблизить функциями из носитель которых — компакт в . Их, в свою очередь, легко приблизить функциями из по норме с помощью операции усреднения.

Итак, условие на функциях и для ограниченной области с гладкой границей равносильно включению и . Это оправдывает замену граничного условия в (7.15) включением (7.16).

Далее, выполнение тождества (7.17) для и при любой функции равносильно тому, что (где применяется в обобщенном смысле). В самом деле, если выполнено (7.17), то выбрав мы получим, перебрасывая производные с u на , что , что и означает, что Обратно, если , то тождество (7.17) верно при , а значит по непрерывности при любом .

Всё это оправдывает следующую обобщённую постановку задачи (7.15):

Пусть — произвольная ограниченная область в надо найти такую функцию , что тождество (7.17) выполнено для любой функции (или, что то же самое, для любой функции ).

Функцию и будем называть в зтом случае обобщённым решением задачи (7.15). Выше мы видели, что если ограничена и имеет гладкую границу, , то и является обобщённым решением задачи (7.15) тогда и только тогда, когда оно является решением этой задачи в классическом смысле.

Теорема 7.9. Обобщённое решение задачи (7.15) существует и единственно.

Доказательство. Перепишем (7.17) в виде

и рассмотрим правую часть как функционал от v при Это линейный непрерывный функционал. Его линейность очевидна, а непрерывность вытекает из неравенства Коши-Буняковского:

где — норма в .

По теореме Рисса мы можем (и притом единственным образом) записать этот функционал в виде , где u — некоторый фиксированный элемент пространства . Это доказывает однозначную разрешимость задачи (7.15) (в обобщённой постановке).

Обобщённая постановка задачи Дирихле оставляет открытыми два важных вопроса: 1) точное описание класса всех решений и при существование более гладкого решения при большей гладкости . Заметим, что локальные вопросы о гладкости легко решаются тем замечанием, что если — фундаментальное решение оператора Лапласа в , то свёртка

(определённая при почти всех ) является решением уравнения и, значит, т. е. и — но — аналитическая функция в . Поэтому гладкость и локально совпадает с гладкостью и может быть легко описана (например, если ), то и как это уже было доказано ранее). Сложнее решается вопрос о гладкости вблизи границы. Более того, для случая негладкой границы он не выяснен до конца и по сей день. Однако в случае, когда граница гладкая (класса ), имеются точные (хотя и не очень просто доказываемые) теоремы, описывающую гладкость и через гладкость . Мы приведём две такие теоремы без доказательства.

Итак, пусть ограниченная область имеет границу класса .

Если то Обратно, очевидно, что если , то . Таким образом, оператор осуществляет изоморфизм:

В частности, в этом случае все обобщённые решения (при ) пробегают пространство .

Другой вариант точного описания гладкости имеется в шкале функций, удовлетворяющих условию Гёльдера. Будем писать, что где если (говорят тогда, что удовлетворяет условию Гёльдера с показателем 7). Класс функций , где , состоит из таких функций что при . Если и — решение задачи (7.15) в ограниченной области с гладкой границей и где то .

Отметим, что такого сорта теорема неверна в обычных классах даже локально, а именно, из условия не следует даже, что .

Перейдём к рассмотрению обобщённой постановки обычной задачи Дирихле

Прежде всего возникает вопрос об интерпретации граничного условия. Мы сделаем это так: будем считать, что дана такая функция v, что Будем считать, что а граничное условие для и интерпретируем так: . Отсюда следует, что Введение функции v избавляет нас от необходимости описывать гладкость и, тем самым, от использования пространств Соболева с нецелым индексом на . Кроме того, удаётся рассмотреть случай области с негладкой границей.

Итак, сформулируем обобщённую постановку задачи Дирихле (7.19):

Пусть дана ограниченная область ; найти такую функцию что .

На первый взгляд кажется, что эта задача сводится к предыдущей, если искать и обозначить Однако ниоткуда не следует, что , а более общий случай мы не рассматривали.

Поэтому рассмотрим эту задачу независимо от первой, тем более, что решается она столь же просто.

Из вышеизложенного ясно также, что если и u — обобщённое решение задачи (7.19), то и является обычным классическим решением этой задачи.

Теорема 7.10. Обобщённое решение и задачи Дирихле существует и единственно для любой ограниченной области и для любой функции . Это решение имеет строго минимальный интеграл Дирихле среди всех функций и для которых . Обратно, если и является стационарной точкой интеграла Дирихле в классе всех функций и для которых , то на самом деле интеграл Дирихле имеет строгий минимум на функции и, причём и является обобщённым решением задачи Дирихле.

Доказательство. Пусть . Условие можно записать в виде:

или, что то же самое, в виде

Поскольку скалярное произведение является по w непрерывным функционалом на по непрерывности имеем

Это условие равносильно уравнению Итак, мы должны найти такую функцию и что и ортогональна подпространству относительно скалярного произведения причём . Но это означает, что и является перпендикуляром, опущенным из v на подпространство Как известно, в гильбертовом пространстве такой перпендикуляр единствен, причём он является наименьшим по длине вектором и удовлетворяющим условию Условие стационарности и, как известно, приводит к условию ортогональности.

Однако имеется небольшая неприятность: «скалярное произведение» определяет структуру гильбертова пространства на но не на . Поэтому следует слегка уточнить приведённые рассуждения.

Рассмотрим так что . Из условия (7.20) вытекает, что

Но отсюда очевиден способ доказательства существования решения. А именно, рассмотрим как линейный непрерывный функционал от w на и представим его (по теореме Рисса это возможно и притом единственным образом) в виде , где z — фиксированный элемент . Остаётся положить По построению z выполнено условие (7.21), откуда следует (7.20). Условие очевидно.

Единственность решения очевидна из того, что если — два решения, то удовлетворяет условию (7.20), откуда .

Покажем теперь минимальность интеграла Дирихле на решении и в классе всех для которых . Положим , так что . Ясно, что и из (7.20) находим

причём равенство достигается лишь при , т. е. при или, что то же самое, при .

Проверим, наконец, что если интеграл Дирихле стационарен на функции в классе всех , для которых то — обобщённое решение задачи Дирихле (и, значит, интеграл Дирихле достигает строгого минимума на u). Стационарность интеграла Дирихле на и означает, что

Но

Стационарность даёт: для любого . Но мы можем заменить z на откуда при любом что даёт условие (7.20). Теорема 7.10 доказана.

В заключение укажем без доказательства правильное описание гладкости решений по информации о функции в граничной задаче (7.19) для области с гладкой границей.

Мы уже говорили, что если , то . Оказывается, что верно и обратное: если , где , то существует и единственно решение задачи (7.19) (см., например, Лионе и Мадженес [34]).

Аналогично, если где , то существует (и единственно) решение .

Объединяя описанные свойства гладкости решений задач (7.15) и (7.19), легко получить, что отображение

продолжается до изоморфизма

а также до изоморфизма

Аналогичные теоремы могут быть доказаны и для общих эллиптических уравнений с общими граничными условиями, удовлетворящими алгебраическому условию, называемому условием эллиптичности (или коэрцитивности, накрывания, Шапиро-Лопатинского). Изложение общей теории эллиптических граничных задач можно найти, например, у Лионса, Мадженеса [34] или Хёрмандера [55-2].