8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области

Теорема 8.4. Оператор А, определяемый в дифференциальным оператором и граничными условиями Дирихле, имеет дискретный спектр. Точнее, в имеется ортонормированный базис из собственных функций при этом при

Доказательство. Сделаем вначале общее замечание о расширениях по Фридрихсу. Пусть — положительный симметрический оператор, А — его расширение по Фридрихсу, — гильбертово пространство, полученное пополнением по норме Поскольку то оператор отображает Н в Докажем, что оператор рассматриваемый как оператор непрерывен. Это проще всего вывести из теоремы о замкнутом графике. А именно, нужно проверить, что оператор имеет замкнутый график, т.е. что из условий вытекает, что Но из этих условий в силу непрерывности вложения следует, что в Н, а в силу непрерывности оператора мы имеем в Н, откуда , что и требовалось.

Вернемся к нашей конкретной ситуации. У нас оператор вложения не только непрерывен, но и компактен. Поэтому оператор являющийся композицией непрерывного оператора и компактного оператора вложения сам является компактным самосопряжённым оператором. По теореме Гильберта оператор имеет в ортонормированный базис из собственных функций , причём если — собственные значения, т.е. , то при . Отметим, что нуль не является собственным значением оператора поскольку из определения ясно, что .

Далее, условие можно переписать в виде или где . Из положительности оператора А вытекает, что , а из условия следует, что при что и требовалось.