2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)

Рассмотрим колебания ограниченной струны с закрепленнкми концами, т. е. решим уравнение струны (2.6) с начальными условиями

и с граничными условиями

Это можно было бы сделать так же, как в предыдущем пункте, однако мы применим другой способ, который годится и во многих других задачах. Отметим, что единственность решения уже была доказана выше с помощью закона сохранения энергии.

Будем искать стоячие волны, т. е. решения уравнения струны (2.6), определённые при , удовлетворяющие граничным условиям (2.34) и имеющие вид

Термин «стоячая волна» оправдан потому, что форма струны при колебаниях вида (2.35) по сути дела со временем не меняется (она лишь умножается на множитель, зависящий от времени). Подставляя u(t, х) в уравнение (2.6) получим

(см. скан)

Рис. 6

Исключая неинтересный тривиальный случай, когда или мы можем поделить обе части полученного соотношения на . В результате получаем:

Левая часть этого соотношения не зависит от х, а правая от t. Поэтому ясно, что обе они постоянны, т. е. что (2.36) равносильно выполнению двух соотношений

с одной и той же постоянной А. Далее, из граничных условий (2.34) вытекает, что

Задача на собственные значения

является частным случаем так называемой задачи Штурма-Лиувилля. В общем виде мы обсудим задачу Штурма-Лиувилля позднее, а пока решим конкретную задачу (2.40), т.е. найдём те значения А (собственные значения), при которых задача (2.40) имеет нетривиальные решения (собственные функции), и найдём сами собственные функции. Рассмотрим следующие возможные случаи.

Тогда уравнение имеет общее решение

Из условия находим , а из условия получается, что , откуда и, значит, число не является собственным значением.

Тогда из граничных условий опять следует, что

Тогда имеем

Рис. 7

Из условия следует, что , а из условия следует, что . Считая , получаем откуда получаем следующий набор значений :

и, соответственно, собственных значений и собственных функций:

Нарисуем графики нескольких первых собственных функций, определяющих форму стоячих волн (см. рис. 7).

Легко найти также соответствующие значения . А именно, из уравнения (2.37) с находим:

откуда получается общий вид стоячей волны:

Частоты колебаний каждой точки в решении равны

и называются собственными частотами струны.

Теперь будем искать общее решение уравнения (2.6) с граничными условиями (2.34) в виде суммы («суперпозиции») стоячих волн, т.е. в виде

Нам нужно удовлетворить начальным условиям (2.33). Подставляя решение (2.46) в эти условия, получим

Таким образом, функции необходимо разложить по системе собственных функций .

Отметим, прежде всего, что эта система ортогональна на отрезке Это можно проверить непосредственно, но можно и сослаться на общий факт об ортогональности собственных векторов симметричного оператора, отвечающих различным собственным значениям.

В качестве оператора нужно взять оператор L, равный , но с областью определения из функций для которых . Интегрированием по частям проверяется, что

где скобки означают скалярное произведение в

Итак, система ортогональна в . Хотелось бы установить её полноту. Будем для простоты считать, что общий случай сводится к этому введением независимой переменной так что система имеет вид и рассматривается на . Пусть . Продолжим нечётным образом на и разложим на отрезке в обычный ряд Фурье по системе . Ясно, что это разложение не будет содержать 1 и ввиду нечетности продолжения. Поэтому на мы как раз получим разложение по системе .

Отметим ещё, что если функция непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную на , то её периодическое с периодом и нечетное продолжение также непрерывно и имеет кусочно-непрерывную производную.

Поэтому она разлагается в равномерно сходящийся ряд по системе . Если же указанное -периодическое продолжение принадлежит классу его производная кусочно-непрерывна, то это разложение можно к раз дифференцировать с сохранением равномерной сходимости.

Итак, разложения в ряды (2.47), (2.48) существуют, причём налагая на условия гладкости и некоторые граничные условия, мы можем добиться сколь угодно хорошей сходимости этих рядов. Коэффициенты этих рядов однозначно определены:

Подставляя эти значения в (2.46), мы получим решение искомой задачи.

Метод Фурье позволяет установить и единственность решения — мы покажем это ниже на примере более общей задачи.

Рассмотрим задачу о струне, на которую действует распределённая сила:

Концы струны будем считать закреплёнными (т. е. выполнены условия (2.34)), а при зададим, как и выше, начальные положение и скорость струны — условия (2.33).

Поскольку собственные функции образуют полную ортогональную систему на то любую разумную функцию определённую при можно разложить по этой системе с коэффициентами, зависящими от t. В частности, мы можем написать:

где — известные функции, нужно определить. Подставляя эти разложения в уравнение (2.53), получим

где — собственные частоты струны. Из (2.56) следует, в силу ортогональности системы собственных функций, что

Из начальных условий

находятся т. е. мы можем однозначно определить функции и, следовательно, решение u(t, х).

Интересен, в частности, случай, когда имеет вид гармонического колебания по t, например,

Ясно тогда, что правые части уравнений (2.57) будут иметь вид

(2.61)

Пусть, например, . Тогда при («нерезонансный случай») уравнение (2.57) имеет колеблющееся частное решение вида

(2.62)

так что его общее решение также будет иметь осциллирующий вид:

При («резонансный случай») есть частное решение вида

(2.64)

которое можно представлять себе как колебание с частотой и с неограниченно растущей амплитудой. Общее решение и функция u(t, х) в этом случае будут неограничены.

Укажем, в заключение, что к описанной задаче сводится более общая задача, когда концы не закреплены, но задано их движение

А именно, если функция — произвольная функция, удовлетворяющая условиям (2.65) (например, ) то для получается задача с закреплёнными концами.

Наконец, отметим, что все описанные выше задачи корректны, что видно из их явных решений.