Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)Рассмотрим колебания ограниченной струны с закрепленнкми концами, т. е. решим уравнение струны (2.6) с начальными условиями
и с граничными условиями
Это можно было бы сделать так же, как в предыдущем пункте, однако мы применим другой способ, который годится и во многих других задачах. Отметим, что единственность решения уже была доказана выше с помощью закона сохранения энергии. Будем искать стоячие волны, т. е. решения уравнения струны (2.6), определённые при
Термин «стоячая волна» оправдан потому, что форма струны при колебаниях вида (2.35) по сути дела со временем не меняется (она лишь умножается на множитель, зависящий от времени). Подставляя u(t, х) в уравнение (2.6) получим
(см. скан) Рис. 6 Исключая неинтересный тривиальный случай, когда
Левая часть этого соотношения не зависит от х, а правая от t. Поэтому ясно, что обе они постоянны, т. е. что (2.36) равносильно выполнению двух соотношений
с одной и той же постоянной А. Далее, из граничных условий (2.34) вытекает, что
Задача на собственные значения
является частным случаем так называемой задачи Штурма-Лиувилля. В общем виде мы обсудим задачу Штурма-Лиувилля позднее, а пока решим конкретную задачу (2.40), т.е. найдём те значения А (собственные значения), при которых задача (2.40) имеет нетривиальные решения (собственные функции), и найдём сами собственные функции. Рассмотрим следующие возможные случаи.
Тогда уравнение
Из условия Тогда Тогда имеем
Рис. 7 Из условия
и, соответственно, собственных значений и собственных функций:
Нарисуем графики нескольких первых собственных функций, определяющих форму стоячих волн (см. рис. 7). Легко найти также соответствующие значения
откуда получается общий вид стоячей волны:
Частоты колебаний каждой точки
и называются собственными частотами струны. Теперь будем искать общее решение уравнения (2.6) с граничными условиями (2.34) в виде суммы («суперпозиции») стоячих волн, т.е. в виде
Нам нужно удовлетворить начальным условиям (2.33). Подставляя решение (2.46) в эти условия, получим
Таким образом, функции Отметим, прежде всего, что эта система ортогональна на отрезке В качестве оператора нужно взять оператор L, равный
где скобки означают скалярное произведение в
Итак, система Отметим ещё, что если функция Поэтому она разлагается в равномерно сходящийся ряд по системе Итак, разложения в ряды (2.47), (2.48) существуют, причём налагая на
Подставляя эти значения Метод Фурье позволяет установить и единственность решения — мы покажем это ниже на примере более общей задачи. Рассмотрим задачу о струне, на которую действует распределённая сила:
Концы струны будем считать закреплёнными (т. е. выполнены условия (2.34)), а при Поскольку собственные функции
где
где
Из начальных условий
находятся Интересен, в частности, случай, когда
Ясно тогда, что правые части
Пусть, например,
так что его общее решение также будет иметь осциллирующий вид:
При
которое можно представлять себе как колебание с частотой Укажем, в заключение, что к описанной задаче сводится более общая задача, когда концы не закреплены, но задано их движение
А именно, если функция Наконец, отметим, что все описанные выше задачи корректны, что видно из их явных решений.
|
1 |
Оглавление
|